Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1. Để chứng minh cung DE có số đo không đổi, ta cần chứng minh góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Thực vậy, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OB và OC là phân giác ngoài của tam giác ABC. Ta có
\(\angle BOC=180^{\circ}-\frac{\angle MBC}{2}-\frac{\angle NCB}{2}=\frac{\angle ABC}{2}+\frac{\angle ACB}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}-\frac{a}{2}\)
Do đó góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Suy ra cung DE có số đo không đổi.
2. Do CD vuông góc với AB nên BC,BD là đường kính của hai đường tròn (O) và (O'). Suy ra
\(\angle CFB=\angle DEB=90^{\circ}\to\angle CFD=\angle CED=90^{\circ}.\) Vậy tứ giác CDEF nội tiếp. Do đó \(\angle ECF=\angle EDF\to\angle FAB=\angle ECF=\angle EDF=\angle EDB\)
Vậy AB là phân giác của góc AEF.
3. Đề bài có chút nhầm lẫn, "kẻ \(IH\perp BC\) mới đúng. Do tam giác ABC nhọn và I nằm trong nên các điểm H,K,L nằm trên các cạnh của tam giác. Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2,\) ta suy ra \(AL^2+BL^2\ge\frac{1}{2}\left(AL+BL\right)^2=\frac{1}{2}AB^2.\) Tương tự ta cũng có \(BH^2+CH^2\ge\frac{1}{2}BC^2,KC^2+KA^2\ge\frac{1}{2}AC^2.\) Mặt khác theo định lý Pitago
\(AL^2+BH^2+CK^2=\left(IA^2-IL^2\right)+\left(IB^2-IH^2\right)+\left(IC^2-IK^2\right)\)
\(=\left(IA^2-IK^2\right)+\left(IB^2-IL^2\right)+\left(IC^2-IH^2\right)\)
\(=BL^2+CH^2+AK^2.\)
Thành thử \(AL^2+BH^2+CK^2=\frac{\left(AL^2+BL^2\right)+\left(BH^2+CH^2\right)+\left(CK^2+AK^2\right)}{2}\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(AL=BL,BH=CH,CK=AK\Leftrightarrow I\) là giao điểm ba đường trung trực.
a) xét tứ giác CDFE có
EF // CD (cùng vuông góc AB)
=> góc DEF= góc EDC (1)
gọi M là giao điểm AB và CD. AB vuông góc CD => M là trung điềm CD
.........=> góc ACD = góc ADC (2)
(1),(2) => góc DEF= góc EDC => CDFE nội tiếp
b) ta có CDFE nội tiếp (cmt) => góc ECF = góc EDF =90 độ (3)
góc ADB =90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(4)
(3),(4) => góc EDF + góc ADB =180 độ
=> B,D,F thẳng hàng.
c) ta có tứ giác EHAC có góc H + góc C=180 độ
=> EHAC nội tiếp
=> góc HCA = góc HEA
mà góc HEA=góc ADC(cmt)
mà góc ADC=góc ABC (=1/2sđ cung AC)
=>góc HCA=ABC
=> HC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)
REFER :
a) Xét tứ giác CDFE có
EF // CD (cùng vuông góc AB)
=> góc DEF= góc EDC (1)
gọi M là giao điểm AB và CD. AB vuông góc CD => M là trung điềm CD
.........=> góc ACD = góc ADC (2)
(1),(2) => góc DEF= góc EDC => CDFE nội tiếp
b) ta có CDFE nội tiếp (cmt) => góc ECF = góc EDF =90 độ (3)
góc ADB =90 độ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)(4)
(3),(4) => góc EDF + góc ADB =180 độ
=> B,D,F thẳng hàng.
c) ta có tứ giác EHAC có góc H + góc C=180 độ
=> EHAC nội tiếp
=> góc HCA = góc HEA
mà góc HEA=góc ADC(cmt)
mà góc ADC=góc ABC (=1/2sđ cung AC)
=>góc HCA=ABC
=> HC là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O)