Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a)\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+c}{b+c}\)<=>a(b+c)<b(a+c)<=>ab+ac<ac+bc<=>ac<bc<=>a<b(đúng theo giả thiết)
Vậy:\(\frac{a}{b}\)<\(\frac{a+c}{b+c}\)
b) (a+b)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))=\(\frac{a+b}{a}\)+\(\frac{a+b}{b}\)=1+\(\frac{b}{a}\)+1+\(\frac{a}{b}\)
Giả sử a<b, ta đặt b=a+k(k>0)
Khi đó (a+b)(\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\))=2+\(\frac{a+k}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)=3+\(\frac{k}{a}\)+\(\frac{a}{b}\)=3+\(\frac{bk+a^2}{ab}\)=3+\(\frac{ak+k^2+a^2}{ab}\)=3+\(\frac{a\left(a+k\right)+k^2}{ab}\)=3+\(\frac{ab+k^2}{ab}\)=4+\(\frac{k^2}{ab}\)\(\ge\)4(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b)
Chứng minh tương tự với a>b
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+\frac{1}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{a^2b^2c^2d^2}=4\) (1)
\(ab+cd\ge2\sqrt{abcd}=2\) (2)
\(ac+bd\ge2\sqrt{acbd}=2\) (3)
\(ad+bc\ge2\sqrt{adbc}=2\) (4)
Cộng theo vế của (1),(2),(3),(4) ta có điều phải chứng minh
Dấu "=" khi \(\begin{cases}a=b=c=d\\abcd=1\end{cases}\)\(\Rightarrow a=b=c=d=\frac{1}{4}\)
1) \(x+\frac{1}{x}\ge2\left(1\right)\)
<=> \(\frac{x^2+1}{x}\ge2\)
<=> x2 + 1 \(\ge\)2x
<=> x2 + 1 - 2x \(\ge\) 0
<=> (x - 1)2 \(\ge\)0 (2)
Bđt (2) đúng vậy bđt (1) được chứng minh
b) Áp dụng bđt AM-GM cho 10 số dương ta có:
a2+b2+c2+d2+ab+ac+ad+bc+bd+cd
\(\ge10\sqrt[10]{a^2.b^2.c^2.d^2.ab.ac.ad.bc.bd.cd}=10\sqrt[10]{\left(a.b.c.d\right)^5}\)
\(=10\sqrt[10]{1}=10\left(đpcm\right)\)
áp dung BĐT cô si \(=>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
vì a+b+c=1 => dpcm
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)>=9\)
<=>1+1+1 +\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\)>=9 (*)
áp đụng cô si
\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}>=2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=2\)
tương tự
\(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}>=2\)
\(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}>=2\)
=> (*) đúng Mà a+b+c=1
=> đpcm
2 ) đề sai rùi bạn ơi ! Mk giải theo đề đúng nka !!
CMR : nếu \(a+b>1\)thì \(a^2+b^2>\frac{1}{2}\)
Ta có : \(a+b>1>0\) ( 1 )
Bình phương hai vế ta được :
\(\left(a+b\right)^2>1\)\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2>1\) ( 2 )
Mặt khác :
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\) ( 3 )
Cộng từng vế của (2) và (3) , ta được:
\(2a^2+2b^2>1\)\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)>1\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2>\frac{1}{2}\left(dpcm\right)\)
tk cko mk nka vì công ngồi đánh máy tình !!!
Biết \(a>b\)và \(b>2\)\(\Leftrightarrow a>2\)
Ta có : \(a>2\)
\(\Leftrightarrow-3a< -6\)( Nhân 2 vế với -3 bất đẳng thức đổi chiều )
\(\Leftrightarrow-3a+6< 0\)(Cộng 2 vế với 6)
\(\Leftrightarrowđpcm\)
tk nka !1
Giả sử \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)(Vì a, b, c > 0)
\(\Leftrightarrow a\left(b+c\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Leftrightarrow ab+ac< ab+bc\)
\(\Leftrightarrow ac< bc\)(Đúng vì c > 0 và a < b)
Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)(đpcm)
Trả lời:
Ta có:
\(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
⇔ a(b + c) < (a + c)b
(vì a > 0, b > 0 và c > 0 ⇔ b + c > 0 và a + c > 0)
⇔ ab + ac < ab + bc
⇔ ac < bc ⇔ a < b (luôn đúng, theo gt)
Xét hiệu : \(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}=\dfrac{b-a}{ab}\)
Ta có : b - a < 0 ( vì a > b > 0 )
ab > 0 ( vì a > b > 0)
=> \(\dfrac{b-a}{ab}< 0\)
Vậy : \(\dfrac{1}{a}< \dfrac{1}{b}\)
Áp dụng : chứng mih quy tắc “lấy nghịch đảo ” sau đây nếu a>b>0 thì 1/a<1/b
Em hãy lấy ví dụ minh hoạ