Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: \(A=\dfrac{x-2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\)
a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne4\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(P=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\dfrac{2}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\)
\(=\dfrac{x-2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)
Lời giải:
Để $A$ min thì $\sqrt{x}-2$ là số âm lớn nhất
Với $x$ chính phương thì $\sqrt{x}-2$ đạt giá trị âm lớn nhất bằng $-1$
$\Leftrightarrow x=1$
Khi đó: $A_{\min}=\frac{1}{-1}=-1$
Để $A$ max thì $\sqrt{x}-2$ là số dương nhỏ nhất.
Với $x$ chính phương thì $\sqrt{x}-2$ đạt giá trị dương nhỏ nhất bằng $1$
$\Leftrightarrow x=9$
Khi đó: $A=\frac{1}{1}=1$
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+1}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\\ \ge2\sqrt{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\right)}=2\cdot1=2\left(BĐT.cauchy\right)\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\right)^2=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\)
\(A=\dfrac{x-4\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-2\right)^2+1}{\sqrt{x}-2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương:
\(A=\sqrt{x}-2+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}}=2\)
\(minA=2\Leftrightarrow\sqrt{x}-2=1\Leftrightarrow\sqrt{x}=3\Leftrightarrow x=9\)
Có bài ngược của bài này, bạn đăng và đã có lời giải thì chỉ cần đảo lại đáp án là được.
\(E=\sqrt{x}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}-2=\dfrac{4\sqrt{x}}{9}+\dfrac{4}{\sqrt{x}}+\dfrac{5}{9}.\sqrt{x}-2\)
\(E\ge2\sqrt{\dfrac{16\sqrt{x}}{9\sqrt{x}}}+\dfrac{5}{9}.\sqrt{9}-2=\dfrac{7}{3}\)
\(E_{min}=\dfrac{7}{3}\) khi \(x=9\)
\(F=3\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+1=2\sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+1\)
\(F\ge2\sqrt{\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}+1.\sqrt{\dfrac{1}{2}}+1=\dfrac{2+5\sqrt{2}}{2}\)
\(F_{min}=\dfrac{2+5\sqrt{2}}{2}\) khi \(x=\dfrac{1}{2}\)
1) \(\sqrt{4+x}=2-x\) (ĐK: \(x\ge-4\))
\(\Leftrightarrow4+x=\left(2-x\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4+x=4-4x+x^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-4x-x+4-4=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-5x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-5\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-5=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(tm\right)\\x=5\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: \(S=\left\{0;5\right\}\)
2)
a) ĐKXĐ: \(a>0,a\ne1\)
\(A=\left(\dfrac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}\right):\dfrac{\sqrt{a}+1}{a}\)
\(A=\left[\dfrac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}-\dfrac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}\right]\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a}+1}\)
\(A=\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a}+1}\)
\(A=\dfrac{a-1}{\sqrt{a}}\cdot\dfrac{a}{\sqrt{a}+1}\)
\(A=\dfrac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}}\cdot\dfrac{\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}}{\sqrt{a}+1}\)
\(A=\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)\)
\(A=a-\sqrt{a}\)
b) Ta có:
\(A=a-\sqrt{a}\)
\(A=\left(\sqrt{a}\right)^2-2\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{a}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}\)
\(A=\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\)
Mà: \(\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) nên \(A=\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}\ge-\dfrac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi:
\(\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{4}\)
Vậy: \(A_{min}=-\dfrac{1}{4}\)khi \(a=\dfrac{1}{4}\)
Bài 5:
a: Thay \(x=4+2\sqrt{3}\) vào E, ta được:
\(E=\dfrac{\sqrt{3}+1-1}{\sqrt{3}+1-3}=\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-2}=-3-2\sqrt{3}\)
b: Để E<1 thì E-1<0
\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x}-1-\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}< 0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3< 0\)
hay x<9
Kết hợp ĐKXĐ, ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}0\le x< 9\\x\ne1\end{matrix}\right.\)
c: Để E nguyên thì \(4⋮\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-2;1;2;4\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{4;5;7\right\}\)
hay \(x\in\left\{16;25;49\right\}\)
Câu 2:
a) Ta có \(x=4-2\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{x}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}=\sqrt{3}-2\)
Thay \(x=\sqrt{3}-1\) vào \(B\), ta được
\(B=\dfrac{\sqrt{3}-1-2}{\sqrt{3}-1+1}=\dfrac{\sqrt{3}-3}{\sqrt{3}}=1-\sqrt{3}\)
b) Để \(B\) âm thì \(\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}< 0\) mà \(\sqrt{x}+1\ge1>0\forall x\) \(\Rightarrow\sqrt{x}-2< 0\Rightarrow\sqrt{x}< 2\Rightarrow x< 4\)
c) Ta có \(B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+1}=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\)
Với mọi \(x\ge0\) thì \(\sqrt{x}\ge0\Rightarrow\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\le3\Rightarrow B=1-\dfrac{3}{\sqrt{x}+1}\ge-2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}+1=1\Leftrightarrow x=0\)
Vậy \(B_{min}=-2\) khi \(x=0\)
1) Cho biểu thức A =