Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dự đoán các biểu thức đạt GTLN / GTNN tại các mút hoặc tại các biến bằng nhau.
Việc còn lại là nhóm hợp lý sao cho dấu bằng xảy ra giống như dự đoán,
\(A=a^2+\frac{18}{a^2}=\left(\frac{18}{a^2}+\frac{a^2}{72}\right)+\frac{71a^2}{72}\ge2\sqrt{\frac{18}{a^2}.\frac{a^2}{72}}+\frac{71.6^2}{72}=\frac{73}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{18}{a^2}=\frac{a^2}{72}\\a=6\end{cases}}\Leftrightarrow a=6\)
\(B=a+a+\frac{1}{8a^2}+\frac{7}{8a^2}\ge3\sqrt[3]{a.a.\frac{1}{8a^2}}+\frac{7}{8.\left(\frac{1}{2}\right)^2}=5\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{8a^2}\\a=\frac{1}{2}\end{cases}}\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}\)
c. \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\le\frac{1}{4}\), làm tương tự câu a, b
d.
\(t=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\ge\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=2\)
\(D=t+\frac{1}{t}\text{ }\left(t\ge2\right)\), làm tương tự câu a.
cho mình xin đề bài với cho hỏi tại sao có
\(\left(a-b\right)^2\left(17a^2+10ab+9b^2\right)\ge0\)
để suy ra \(\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2\)
#Thắng: hình như là Ireland MO 2000 hay 2002 j đó , nãy vừa thấy trên fb <(")
a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel:
\(VT=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a =b = c
b)Tương tự câu a
c)\(\sqrt{\frac{a}{b+c+d}}=\frac{a}{\sqrt{a\left(b+c+d\right)}}\ge\frac{2a}{a+b+c+d}\)
Tương tự 3 BĐT còn lại và cộng theo vế ta được \(VT\ge2\)
Nhưng dấu "=" không xảy ra nên ta có đpcm.
d) Chưa nghĩ ra.
Bài 2:
a) Đề thiếu (or sai hay sao ý)
d, Với a,b >0.Áp dụng bđt svac-xơ có:
\(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}=\frac{3}{a}+\frac{2}{2b}\ge\frac{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2}{a+2b}=\frac{5+2\sqrt{6}}{a+2b}>\frac{\sqrt{24}+2\sqrt{6}}{a+2b}\)
=> \(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}>\frac{4\sqrt{6}}{a+2b}\)
Với a, b > 0
Ta có: \(2\sqrt{a+3}\le\frac{\left(a+3\right)+4}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\sqrt{a+3}\le\frac{a+2}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{a+3}}\ge\frac{8}{a+7}\)
Ta có: \(2\sqrt{b+3}\le\frac{\left(b+3\right)+4}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge\frac{4}{b+7}\)
\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge\frac{8}{a+7}+\frac{4}{b+7}=\frac{4}{a+7}+\frac{4}{a+7}+\frac{4}{b+7}\)
\(\ge4\left(\frac{1}{a+7}+\frac{1}{a+7}+\frac{1}{b+7}\right)\)
\(\ge4.\frac{9}{2a+b+21}=4.\frac{9}{3+21}=\frac{36}{24}\)
\(\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)
Vậy\(\frac{2}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}\ge\frac{3}{2}\)
Cách khác:
Ta có: \(VT=\frac{2}{\sqrt{a+3}}+\frac{1}{\sqrt{b+3}}=\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)+2}}+\frac{1}{\sqrt{\left(b+1\right)+2}}\ge\frac{2}{\frac{a+1+2}{2}}+\frac{1}{\frac{b+1+2}{2}}=\frac{4}{a+3}+\frac{2}{b+3}\)(1) (BĐT Cô-si)
Lại có: \(2a+b\le3\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+3\ge3a+b\\b+3\ge2\left(a+b\right)\end{matrix}\right.\). Thay vào (1) ta được:
\(VT\ge\frac{4}{3a+b}+\frac{1}{a+b}\)
Áp dụng BĐT Schwarz, ta được:
\(VT\ge\frac{4}{3a+b}+\frac{1}{a+b}\ge\frac{\left(2+1\right)^2}{4a+2b}=\frac{3^2}{2\left(2a+b\right)}\ge\frac{3^2}{2.3}=\frac{3}{2}\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1
Theo bài ra ta có \(0\le a\le b\le c\) nên b\(+\)c \(\ge\)2b
Do đó suy ra \(\frac{2a^2}{b+c}\le\frac{2a^2}{2b}\)suy ra \(\frac{2a^2}{b+c}\le\frac{a^2}{b}\)
Chưng minh tương tự có \(\frac{2b^2}{c+a}\le\frac{b^2}{c}\)và \(\frac{2c^2}{a+b}\le\frac{c^2}{a}\)
Cộng vế với vế của các bđt cùng chiều trên ta sẽ suy ra điều phải chứng minh
#nga
Sai rồi nếu như theo cách chứng minh của bạn thì ta có: a + c \(\ge2c\)cái này vô lý.
\(VT=\frac{1}{2}\sqrt{\left(2a-4\right).4}+\frac{1}{3}\sqrt{\left(3b-9\right)9}+\frac{11a+7b}{2}\le6a+4b\)
Cần CM \(6a+4b\le ab+24\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-4\right)\left(6-b\right)\le0\) đúng với \(a\ge4;b\ge6\)
"=" \(\Leftrightarrow\)\(a=4;b=6\)