A
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 3 2019
2/
a/ \(\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\sqrt{a}.\frac{1}{\sqrt{a}}}=2\), dấu "=" khi \(a=1\)
b/ \(a+b+\frac{1}{2}=a+\frac{1}{4}+b+\frac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{4}}+2\sqrt{b.\frac{1}{4}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" khi \(a=b=\frac{1}{4}\)
c/ Có lẽ bạn viết đề nhầm, nếu đề đúng thế này thì mình ko biết làm
Còn đề như vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\) thì làm như sau:
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\) ; \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\); \(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{yz}}\)
Cộng vế với vế ta được:
\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{2}{\sqrt{yz}}+\frac{2}{\sqrt{xz}}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{1}{\sqrt{xy}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}\)
Dấu "=" khi \(x=y=z\)
d/ \(\frac{\sqrt{3}+2}{\sqrt{3}-2}-\frac{\sqrt{3}-2}{\sqrt{3}+2}=\frac{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}-\frac{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}{\left(\sqrt{3}+2\right)\left(\sqrt{3}-2\right)}\)
\(=\frac{7+4\sqrt{3}}{3-4}-\frac{7-4\sqrt{3}}{3-4}=-7-4\sqrt{3}+7-4\sqrt{3}=-8\sqrt{3}\)
e/ \(\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}:\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}\right)^3+\left(\sqrt{b}\right)^3}{\sqrt{ab}}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\)
\(=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\left(a-\sqrt{ab}+b\right)\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{ab}}=\frac{\left(a-b\right)\left(a+b-\sqrt{ab}\right)}{\sqrt{ab}}\)
\(=\frac{a^2-b^2}{\sqrt{ab}}-\left(a-b\right)\) (bạn chép đề sai)
PN
1
5 tháng 7 2018
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2.\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)
Tương tự:\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b}\)
Cộng theo vế BĐT ta được:\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
VD
24 tháng 1 2018
bđt cần c/m tương đương với:
\(\left(\frac{b+c}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\right)+\left(\frac{a+c}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\right)+\left(\frac{a+b}{\sqrt{c}}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\\ \ \)\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
Mặt khác:
\(a+b+c\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{3}\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
=> \(VT\ge3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Ta cần c/m:
\(3\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)+3\)
<=> \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\)(BĐt Cô-si)
xong rồi bạn nhé
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 9 2019
\(a+b=2c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}c=\frac{a+b}{2}\\a-c=c-b\end{matrix}\right.\)
\(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}+\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{b-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{c}}{a-c}-\frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{a-c}\)
\(=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-c}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-\frac{a+b}{2}}=\frac{2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{a-b}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)
MG
1
26 tháng 8 2017
Áp dụng Cauchy ta có :
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{\frac{a}{\sqrt{b}}.\sqrt{b}}=2\sqrt{a}\)(1)
\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{\frac{b}{\sqrt{a}}.\sqrt{a}}=2\sqrt{b}\)(2)
Cộng vế của (1) và (2) ta được :
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\sqrt{b}}-\sqrt{a}\ge\sqrt{b}-\frac{b}{\sqrt{a}}\) (đpcm)
20 tháng 7 2016
Bạn xem lại đề bài nhé :)
Nhận xét : Với \(x\ge0\), ta có \(x=\sqrt{x^2}\)
Đặt \(x=\sqrt{A-\sqrt{B}}+\sqrt{A+\sqrt{B}}\), ta có \(x\ge0\), từ nhận xét suy ra \(x=\sqrt{x^2}\)
Ta có : \(x^2=2A+2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow x=2\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\)(1). Tương tự, đặt \(y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}\).
Xét : \(A+\sqrt{B}-\left(A-\sqrt{B}\right)=2\sqrt{B}>0\Leftrightarrow A+\sqrt{B}>A-\sqrt{B}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}>\sqrt{A-\sqrt{B}}\Rightarrow y>0\). Áp dụng nhận xét, ta cũng có \(y=\sqrt{y^2}\)
Ta có : \(y=\sqrt{A+\sqrt{B}}-\sqrt{A-\sqrt{B}}\Leftrightarrow y=2A-2\sqrt{A^2-B}=4\left(\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow y=2\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}\) (2)
Cộng (1) và (2) theo vế : \(x+y=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)\)
\(2\sqrt{A+\sqrt{B}}=2\left(\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A^2+\sqrt{B}}{2}}+\sqrt{\frac{A^2-\sqrt{B}}{2}}\)(đpcm)
ND
1
15 tháng 8 2017
áp dụng bđt schwars ta có:
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
AD Bất Đẳng thức Cô si ta có
\(\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}\ge2\sqrt{a}\) dấu ''='' khi a= b
\(\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{b}\) dấu = khi a=b
Cộng vế ta có \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{b}+\sqrt{a}\ge2\sqrt{a}+2\sqrt{b}\)
=> \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\) (Đ PCM )
dấu = khi a=b