Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài chỉ chứng minh vế phải chia hết vế trái chứ k tìm n hay a nhé bạn
Nguyễn Ngọc Phương: Mình đâu có tìm $n,a$ đâu hả bạn? Mình đang chỉ ra TH sai mà???
Chả hạn, chứng minh $n(n+1)(n^2+1)\vdots 5$ thì có nghĩa mọi số tự nhiên/ nguyên $n$ đều phải thỏa mãn. Nhưng chỉ cần có 1 TH $n$ thay vào không đúng nghĩa là đề không đúng rồi.
\(b,n^2\left(n^4-1\right)\)
\(=n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)\)
Ta có:\(n^2-1;n^2;n^2+1\) là 3 số nghuyên liên tiếp
\(\Rightarrow n^2\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)⋮60\)
\(\Rightarrowđpcm\)
=>
Đặt \(B=4^{1993}+4^{1992}+.......+4^2+1\)
\(\Rightarrow4B=4^{1994}+4^{1993}+....+4^3+4\)
\(\Rightarrow3B=4^{1994}-1\)
Mà: \(A=75B+25=25\left(3B+1\right)=25\left(4^{1994}-1+1\right)=25.4^{1994}\)
\(A=75\left(4^{1993}+5^{1992}+...+4^2+5\right)+25=75B+25\)
Xét \(B=4^{1993}+4^{1992}+...+4^2+5=4^{1993}+4^{1992}+...+4^2+4+1\)
\(\Rightarrow4B=4^{1994}+4^{1993}+...+4^2+4\)
\(\Rightarrow4B+1-4^{1994}=4^{1993}+4^{1992}+...+4^2+4+1=B\)
\(\Rightarrow3B=4^{1994}-1\Rightarrow B=\dfrac{4^{1994}-1}{3}\)
Vậy \(A=75.\dfrac{\left(4^{1994}-1\right)}{3}+25=25.4^{1994}-25+25\)
\(\Rightarrow A=25.4^{1994}\)
Áp dụng bđt bunhiacopski có:
\(\left(a^4+1\right)\left(1+4^2\right)\ge\left(a^2+4\right)^2\)
=> \(\sqrt{a^4+1}\ge\sqrt{\frac{\left(a^2+4\right)^2}{1+4^2}}=\frac{a^2+4}{\sqrt{17}}\)(1)
Tương tự cx có: \(\sqrt{b^4+1}\ge\frac{b^2+4}{\sqrt{17}}\) (2)
Từ (1),(2) => \(F\ge\frac{a^2+b^2+8}{\sqrt{17}}\)
Có (a+2)(b+2)=\(\frac{25}{4}\)
=> \(ab+2a+2b+4=\frac{25}{4}\) <=> \(ab+2a+2b=\frac{9}{4}\)
Áp dụng cosi có:
\(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)
\(2a\le2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\)
\(2b\le2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\)
=> \(\frac{a^2+b^2}{2}+2a^2+\frac{1}{2}+2b^2+\frac{1}{2}\ge ab+2a+2b=\frac{9}{4}\)
<=> \(\frac{a^2+b^2+4a^2+4b^2}{2}\ge\frac{9}{4}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\)
<=> \(\frac{5\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{5}{4}\)
<=> \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Thay \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\) vào F có:
\(F\ge\frac{\frac{1}{2}+8}{\sqrt{17}}\)
<=> F \(\ge\frac{\sqrt{17}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=>\(a=b=\frac{1}{2}\)
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$
$\bullet$ Chứng minh $A\vdots 5$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc là: Một số chính phương khi chia cho $5$ có dư là $0,1,4$
Do đó, với $a$ là số nguyên không chia hết cho $5$ thì $a^2$ chia $5$ dư $1$ hoặc $4$
Hay $a^2\equiv \pm 1\pmod 5$
$\Rightarrow a^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow a^4-1\equiv 0\pmod 5$
$\Rightarrow A=(a^4-1)(a^4+15a^2+1)\equiv 0\pmod 5$
Hay $A\vdots 5(*)$
----------------------
Chứng minh $A\vdots 7$
$A=(a^4-1)(a^4+a^2+1)+14a^2(a^4-1)$
$=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)$
Ta nhớ đến tính chất quen thuộc: Một số lập phương khi chia cho $7$ có dư $0,1,6$
Do đó, với $a$ là số không chia hết $7$ thì $a^3$ chia $7$ có thể dư $1,6$
Hay $a^3\equiv \pm 1\pmod 7$
$\Rightarrow a^6\equiv 1\pmod 7\Rightarrow a^6-1\equiv 0\pmod 7$
$\Rightarrow A=(a^2+1)(a^6-1)+14a^2(a^4-1)\equiv 0\pmod 7$
Hay $A\vdots 7(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 35$