Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề khai triển các biểu thức \({\left( {a + b} \right)^4},{\left( {a + b} \right)^5}\) một cách nhanh chóng, chúng ta sẽ sử dụng khai triển của Nhị thức Newton.
a) \({\left( {3x + y} \right)^4} = {\left( {3x} \right)^4} + 4.{\left( {3x} \right)^3}y + 6.{\left( {3x} \right)^2}{y^2} + 4.\left( {3x} \right){y^3} + {y^4}\)
\( = 81{x^4} + 108{x^3}y + 54{x^2}{y^2} + 12x{y^3} + {y^4}\)
b) \(\begin{array}{l}{\left( {x - \sqrt 2 } \right)^5} = \left( {x + (-\sqrt 2) } \right)^5 ={x^5} + 5.{x^4}.\left( { - \sqrt 2 } \right) + 10.{x^3}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + 5.x.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^4} + 1.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^5}\\ = {x^5} - 5\sqrt 2 .{x^4} + 20{x^3} - 20\sqrt 2 .{x^2} + 20x - 4\sqrt 2 \end{array}\)
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {a - \frac{b}{2}} \right)^4} = C_4^0.{a^4}{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^0} + C_4^1.{a^3}\left( { - \frac{b}{2}} \right) + C_4^2.{a^2}{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^2} + C_4^3.a{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^3} + C_4^4.{a^0}{\left( { - \frac{b}{2}} \right)^4}\\ = {a^4} - 2{a^3}b + \frac{3}{2}{a^2}{b^2} - \frac{1}{2}a{b^3} + \frac{1}{16}{b^4}\end{array}\)
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:
\(\begin{array}{l}{\left( {2{x^2} + 1} \right)^5} = C_5^0.{\left( {2{x^2}} \right)^5}{.1^0} + C_5^1.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.1 + C_5^2.{\left( {2{x^2}} \right)^3}{.1^2} + C_5^3.{\left( {2{x^2}} \right)^2}{.1^3} + C_5^4.\left( {2{x^2}} \right){.1^4} +C_5^5.{\left( {2{x^2}} \right)^0} {.1^5}\\ = 32{x^{10}} + 80{x^8} + 80{x^6} + 40{x^4} + 10{x^2} + 1\end{array}\).
a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} = {2^4} + {4.2^3}.\left( {\sqrt 2 } \right) + {6.2^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\\ = \left[ {{2^4} + {{6.2}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}} \right] + \left[ {{{4.2}^3}.\left( {\sqrt 2 } \right) + 4.2.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \right]\\ = 68 + 48\sqrt 2 \end{array}\)
b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
\({\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} = {2^4} + {4.2^3}.\left( {\sqrt 2 } \right) + {6.2^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}\)
\({\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4} = \left( {2 +(- \sqrt 2 )} \right)^4= {2^4} + {4.2^3}.\left( { - \sqrt 2 } \right) + {6.2^2}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + 4.2.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + {\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}\)
Từ đó,
\(\begin{array}{l}{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {2 - \sqrt 2 } \right)^4} = 2\left[ {{2^4} + {{6.2}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}} \right]\\ = 2\left( {16 + 48 + 4} \right) = 136\end{array}\)
c) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^5} = \left( {1 +(- \sqrt 3 )} \right)^5= 1 + 5.\left( { - \sqrt 3 } \right) + 10.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + 10.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} + 5.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^4} + 1.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^5}\\ = \left[ {1 + 10.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + 5.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^4}} \right] + \left[ {5.\left( { - \sqrt 3 } \right) + 10.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^3} + 1.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^5}} \right]\\ = 76 - 44\sqrt 3 \end{array}\)
a)
\(\begin{array}{l}C_4^0 + 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 + {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 + {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 + {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 + 2} \right)^4} = {3^4}\end{array}\)
\( = 81\) (đpcm)
b)
\(\begin{array}{l}C_4^0 - 2C_4^1 + {2^2}C_4^2 - {2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {1^4}.C_4^0 - {1^3}.2C_4^1 + {1^2}{.2^2}C_4^2 - {1.2^3}C_4^3 + {2^4}C_4^4\\ = {\left( {1 - 2} \right)^4} = {\left( { - 1} \right)^4}\end{array}\)
\( = 1\) (đpcm)
a) \({\left( {2x + 1} \right)^4} = {\left( {2x} \right)^4} + 4.{\left( {2x} \right)^3}{.1^1} + 6.{\left( {2x} \right)^2}{.1^2} + 4.\left( {2x} \right){.1^3} + {1^4} = 16{x^4} + 32{x^3} + 24{x^2} + 8x + 1\)
b) \(\begin{array}{l}{\left( {3y - 4} \right)^4} = {\left[ {3y + \left( { - 4} \right)} \right]^4} = {\left( {3y} \right)^4} + 4.{\left( {3y} \right)^3}.\left( { - 4} \right) + 6.{\left( {3y} \right)^2}.{\left( { - 4} \right)^2} + 4.{\left( {3y} \right)^1}{\left( { - 4} \right)^3} + {\left( { - 4} \right)^4}\\ = 81{y^4} - 432{y^3} + 864{y^2} - 768y + 256\end{array}\)
c) \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^4} = {x^4} + 4.{x^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + 6.{x^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + 4.x.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = {x^4} + 2{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} + \frac{1}{2}x + \frac{1}{{16}}\)
d) \(\begin{array}{l}{\left( {x - \frac{1}{3}} \right)^4} = {\left[ {x + \left( { - \frac{1}{3}} \right)} \right]^4} = {x^4} + 4.{x^3}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^1} + 6.{x^2}.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^2} + 4.x.{\left( { - \frac{1}{3}} \right)^3} + {\left( { - \frac{1}{3}} \right)^4}\\ = {x^4} - \frac{4}{3}{x^3} + \frac{2}{3}{x^2} - \frac{4}{27}x + \frac{1}{{81}}\end{array}\)
Ta có:
\({(2 + 3x)^4} = C_4^0{2^4} + C_4^1{2^3}3x + C_4^2{2^2}{\left( {3x} \right)^2} + C_4^32.{\left( {3x} \right)^3} + C_4^4{\left( {3x} \right)^4}\)
=> Hệ số của của \({x^2}\)là \(C_4^2{.2^2}{.3^2} = 36C_4^2.\)
Chọn D.
a) \({\left( {x - 2} \right)^4}\)
\(\begin{array}{l} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { - 2} \right) + 6{x^2}.{\left( { - 2} \right)^2} + 4x{\left( { - 2} \right)^3} + {\left( { - 2} \right)^4}\\ = {x^4} - 8{x^3} + 24{x^2} - 32x + 16\end{array}\)
b) \({\left( {x + 2y} \right)^5}\)
\(\begin{array}{l} = {x^5} + 5.{x^4}.\left( {2y} \right) + 10.{x^3}.{\left( {2y} \right)^2} + 10.{x^2}.{\left( {2y} \right)^3} + 5.x.{\left( {2y} \right)^4} + 1.{\left( {2y} \right)^5}\\ = {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^3} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}\end{array}\)
a)
i) Các số hạng của khai triển trên là: \({a^3},3{a^2}b,3a{b^2},{b^3}\)
ii) Các hệ số của khai triển trên là: \(1;3;3;1\)
iii) Tính các giá trị \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) ta được
\(C_3^0 = 1,C_3^1 = 3,C_3^2 = 3,C_3^3 = 1\)
Các giá trị của \(C_3^0,C_3^1,C_3^2,C_3^3\) bằng với các hệ số của khai triển đã cho
b)
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^4} = \left( {a + b} \right){\left( {a + b} \right)^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\end{array}\)
Tính giá trị của \(C_4^0,C_4^1,C_4^2,C_4^3,C_4^4\) ta được
\(C_4^0 = 1,C_4^1 = 4,C_4^2 = 6,C_4^3 = 4,C_4^4 = 1\)
Vậy ta được khai triển là:
\({\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\)
c)
Dự đoán công thức \({\left( {a + b} \right)^5} = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\)
Tính lại ta có
\(\begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^5} = {\left( {a + b} \right)^2}{\left( {a + b} \right)^3} = \left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)\left( {{a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}} \right)\\ = {a^5} + 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} + 10{a^2}{b^3} + 5a{b^4} + {b^5}\end{array}\)
Vậy công thức dự đoán là chính xác.