Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1/
A B C M
Ta có MA + MB > AB (bất đẳng thức tam giác)
MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác)
MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác)
=> 2 (MA + MB + MC) > AB + AC + BC
=> \(MA+MB+MC>\frac{AB+AC+BC}{2}\) (1)
Ta có MA + MB < AC + BC (bất đẳng thức tam giác)
MB + MC < AB + AC (bất đẳng thức tam giác)
MA + MC < AB + BC (bất đẳng thức tam giác)
=> 2 (MA + MB + MC) < 2 (AB + AC + BC)
=> MA + MB + MC < AB + AC + BC (2)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{2}\left(AB+AC+BC\right)< AM+BM+CM< AB+AC+BC\)(đpcm)
2/
A B C M I
Kéo dài tia MB cắt AC tại I.
\(\Delta AMI\)có: MA < IA + MI (bất đẳng thức tam giác) (*)
Cộng hai vế của (*) cho MB, ta có: MA + MB < IA + MI + MB
=> MA + MB < IA + IB (1)
\(\Delta BIC\)có: IB < IC + BC (bất đẳng thức tam giác) (**)
Cộng hai vế của (**) cho IA, ta có: IA + IB < IA + IC + BC
=> IA + IB < AC + BC (2)
Từ (1) và (2) => MA + MB < AC + BC (đpcm)
Ta có:
A B C O
\(OA+OB< AC+BC\)
\(OA+OC< AB+BC\)
\(OC+OB< AB+AC\)
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên ta được :
\(2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+AC+BC\right)\)
hay \(OA+OB+OC< AB+AC+BC\)(1)
Mặt khác trong các tam giác OAB,OBC,OCA,theo bất đẳng thức tam giác ta lại có :
\(OA+OB>AB\)
\(OB+OC>BC\)
\(OC+OA>AC\)
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được :
\(2\left(OA+OB+OC\right)>AB+BC+AC\)
hay \(OA+OB+OC>\frac{AB+AC+BC}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) :
\(\Rightarrow\frac{AB+AC+BC}{2}< OA+OB+OC< AB+AC+BC.\)
A B C O I
Theo bất đẳng thức tam giác ta có
\(\Delta OAB:\)\(AB< OA+OB\)
\(\Delta OAC:\)\(AC< OA+OC\)
\(\Delta OBC:\)\(BC< OB+OC\)
\(\Rightarrow AB+BC+AC< 2\left(OA+OB+OC\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{AB+BC+AC}{2}< OA+OB+OC\)(1)
Gọi I là giao điểm của BO và AC
\(\Delta OAI:-OA< AI+OI\)
\(\Delta IBC:-IB< IC+BC\)
\(\Rightarrow OA+IB< AI+OI+IC+BC=AC+BC+OI\)
\(\Leftrightarrow OA+IB-OI< AC+BC\)
\(\Leftrightarrow OA+OB< AC+BC\)(OI+OB=IB)
Chứng minh tương tự ta có \(OA+OC< AB+BC;OB+OC< AB+AC\)
\(\Rightarrow2\left(OA+OB+OC\right)< 2\left(AB+BC+AC\right)\)(CỘNG 2 VẾ CỦA 3 BẤT ĐẢNG THỨC TRÊN)
\(\Leftrightarrow OA+OB+OC< AB+BC+AC\)(2)
Từ (1),(2) suy ra điều phải chứng minh.