Câu hỏi của THI QUYNH HOA BUI

Question

a. Chứng minh a^25 − a chia hết cho 30, với mọi số nguyên a.

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:Ta có:$A=a^{25}-a=a(a^{24}-1)$Vì $a,a^{24}-1$ khác tính chẵn lẻ nên trong 2 số $a,a^{24}-1$ tồn tại 1 số chẵn $\Rightarrow A\vdots 2(1)$$A=a(a^{12}-1)(a^{12}+1)=a(a^6-1)(a^6+1)(a^{12}+1)$$=a(a-1)(a+1)(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$Vì $a(a-1)(a+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $A\vdots 3(2)$Mặt khác:$A=a(a^{24}-1)$Vì $a^2$ chia $5$ dư $0,1,-1$ $\Rightarrow a^{24}$ chia $5$ dư $0,1$$\Rightarrow A=a(a^{24}-1)\vdots 5(3)$Từ $(1); (2); (3)$ mà $(2,3,5)$ đôi một nguyên tố cùng nhau$\Rightarrow A\vdots (2.3.5=30)$Câu trả lời: Lời giải:Ta có:$A=a^{25}-a=a(a^{24}-1)$Vì $a,a^{24}-1$ khác tính chẵn lẻ nên trong 2 số $a,a^{24}-1$ tồn tại 1 số chẵn $\Rightarrow A\vdots 2(1)$$A=a(a^{12}-1)(a^{12}+1)=a(a^6-1)(a^6+1)(a^{12}+1)$$=a(a-1)(a+1)(a^2+a+1)(a^2-a+1)(a^6+1)(a^{12}+1)$Vì $a(a-1)(a+1)$ là tích 3 số nguyên liên tiếp nên $A\vdots 3(2)$Mặt khác:$A=a(a^{24}-1)$Vì $a^2$ chia $5$ dư $0,1,-1$ $\Rightarrow a^{24}$ chia $5$ dư $0,1$$\Rightarrow A=a(a^{24}-1)\vdots 5(3)$Từ $(1); (2); (3)$ mà $(2,3,5)$ đôi một nguyên tố cùng nhau$\Rightarrow A\vdots (2.3.5=30)$

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP