Question

[Trương Nguyên Đại Thắng]

a ) Cho đa thức P(x), biết rằng P(x) chia cho ( x - 1 ) thì dư -2019 ; P(x) chia cho ( x - 2) thì dư -2036; P(x) chia cho ( x - 3) thì dư -2013; P(x) chia cho ( x - 4 ) thì dư -1902. Hãy tìm đa thức dư R ( x ) khi chia P(x) cho (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

b ) Tính R(2019); R(1);R(2); R(3);R(4);R(5)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

Gọi $R(x)$ là đa thức dư khi chia $P(x)$ cho $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$. Bậc của $R(x)$ phải nhỏ hơn bậc đa thức chia. Do đó đặt:

\(R(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(P(x)=Q(x)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+ax^3+bx^2+cx+d\)

Trong đó $Q(x)$ là đa thức thương.

Theo định lý Bê-du về phép chia đa thức:

\(\left\{\begin{matrix} P(1)=a+b+c+d=-2019\\ P(2)=8a+4b+2c+d=-2036\\ P(3)=27a+9b+3c+d=-2013\\ P(4)=64a+16b+4c+d=-1902\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=8\\ b=-28\\ c=11\\ d=-2010\end{matrix}\right.\)

Vậy \(R(x)=8x^3-28x^2+11x-2010\)

b)

Từ phần a suy ra:

\(\left\{\begin{matrix} R(1)=P(1)=-2019\\ R(2)=P(2)=-2036\\ R(3)=P(3)=-2013\\ R(4)=P(4)=-1902\\ R(5)=8.5^3-28.5^2+11.5-2010=-1655\end{matrix}\right.\)