Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 2:
a) Áp dụng BĐT AM - GM ta có:
\(\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{1}{4^2ab}}=\dfrac{2}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{1}{2\sqrt{ab}}\)
\(\ge\dfrac{1}{a+b}\) (Đpcm)
b) Trừ 1 vào từng vế của BĐT ta được BĐT tương đương:
\(\left(\frac{x}{2x+y+z}-1\right)+\left(\frac{y}{x+2y+z}-1\right)+\left(\frac{z}{x+y+2z}-1\right)\le\frac{-9}{4}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\le-\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
Áp dụng BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\)
\(\ge\dfrac{9}{2x+y+z+x+2y+z+x+y+2z}=\dfrac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\le\dfrac{3}{4}\) (Đpcm)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a-1+b-1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)
Nên cần chứng minh \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge8a+8b-16\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-4\right)^2\ge0\) luôn đúng
1) 2( a2 + b2 ) ≥ ( a + b)2
<=> 2a2 + 2b2 - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( luôn đúng )
=> đpcm
2) Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương x , y , ta có :
a + b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ 2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ) ≥ \(2\sqrt{xy}\)2\(\sqrt{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y}}\)
=> ( x + y)( \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\)) ≥ 4
=> \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\) ≥ \(\dfrac{4}{x+y}\)
1, Vì m > 2
\(\Rightarrow\) m - 2 > 2 - 2
\(\Rightarrow\) m(m - 2) > m(2 - 2)
\(\Rightarrow\) m2 - 2m > 0
a < 0; b < 0; a > b
\(\Rightarrow\) \(\frac{1}{a}< \frac{1}{b}\) (Vì mẫu a > b nên phân số \(\frac{1}{a}< \frac{1}{b}\))
Bạn ơi, đề cho a > b thì làm sao chứng minh được a \(\ge\) b hả bạn
Chúc bn học tốt!!
Đề đúng : CMR \(a^2+ab+b^2< 1\)
Ta có : Với mọi a > b > 0 thì \(a^3+b^3>a^3-b^3\)
\(\Rightarrow a-b>a^3-b^3\). Vì a - b > 0 , chia cả hai vế của bất đẳng thức cho (a-b) được :
\(a^2+ab+b^2< 1\)(đpcm)
1)a+3>b+3
=>a>b
=>-2a<-2b
=>-2a+1<-2b+1
2)x>0;y<0 =>x2.y<0;x.y2>0
=>x2.y<0;-x.y2<0
=>x2y-xy2<0
1.ta có a+3>b+3
suy ra -2a-6>-2b-6
=> (-2a-6)+5>(-2b-6)+5
=>-2a+1>-2b+1
2.vì x>0=> x^2>0 và y<0=>y^2>0
=> x^2*y<0 và x*y^2>0
=> x*y^2>x^2*y
=>x^2*y-x*y^2<0
a: \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}}=2\)
b: a<b
=>-2a>-2b
=>-2a-3>-2b-3
c: =x^2+2xy+y^2+y^2+6y+9
=(x+y)^2+(y+3)^2>=0 với mọi x,y
d: a+3>b+3
=>a>b
=>-5a<-5b
=>-5a+1<-5b+1