NK
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
11 tháng 5 2017
Bài 2:
\(a^4+b^4\ge a^3b+b^3a\)
\(\Leftrightarrow a^4-a^3b+b^4-b^3a\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
ta thấy : \(\orbr{\orbr{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\\\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\end{cases}}}\Leftrightarrow dpcm\)
Dấu " = " xảy ra khi a = b
tk nka !!!! mk cố giải mấy bài nữa !11
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 4 2019
a/
Biến đổi tương đương:
\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)
\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Vậy BĐT ban đầu đúng (đpcm), dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)
b/
Mở rộng cho 3 số, ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)
Vậy \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với x, y, z dương
Mặt khác ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) \(\forall a,b,c\)
\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
Áp dụng:
\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{\left(a^2\right)^2}{ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{bc}+\frac{\left(c^2\right)^2}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
28 tháng 3 2017
Câu b) x/y + y/x >hoặc = 2
<=> x/y + y/x - 2 > hoặc = 0
<=> x^2 + y^2 -2xy /xy >hoặc =0
<=> (x-y)^2 /xy > hoặc = 0
(x-y)^2 > hoặc = 0 với mọi x;y .Dấu"=" xảy ra khi x=y
vì x;y cùng dấu =>xy>0
=>(x-y)^2 / xy > hoặc = 0 luôn luôn đúng.
Mà các Phép biến đổi trên là tương đương
=>x/y + y/x >hoặc =2 với mọi x;y cùng dấu. Dấu "=" xảy ra khi x=y. Nhớ nhé
28 tháng 3 2017
Câu g) a^2 + b^2 > hoặc =1/2 với a+b=1
vì a+b=1 =>(a+b)^2 = 1 =>(1*a+1*b)^2 =1
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski cho 4 số 1;1;a;b ta có
(1*a+1*b)^2 < hoặc = (1^2 + 1^2 )(a^2 + b^2).Dấu "=" xảy ra khi 1^2 / a^2 = 1^2 /b^2 =>1/a = 1/b=>a=b=1/2
Hay 1< hoặc = 2(a^2 +b^2) .Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
=>a^2 + b^2 > hoặc = 1/2.Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2 =>đpcm
23 tháng 4 2018
Bài 1 :
Theo BĐT cô - si ta có :
\(x^2+y^2\ge2xy\)
\(x^2+1\ge2x\)
\(y^2+z^2\ge2yz\)
\(y^2+1\ge2y\)
\(z^2+x^2\ge2zx\)
\(z^2+1\ge2z\)
Cộng vế theo vế ta được :
\(3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge12\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\left(đpcm\right)\)
Bài 2 :
Ta có :
\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4+a^4+b^4-ab^3-a^3b-2a^2b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b-ab^3+b^4\right)+\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)+\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\)
22 tháng 4 2018
2)\(2\left(a^4+b^4\right)\ge ab^3+a^3b+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+a^4+b^4-ab^3-a^3b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+a^3\left(a-b\right)+b^3\left(b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(luôn đúng)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2019
a)
\(a^2+b^2+c^2+d^2+m^2-a(b+c+d+m)\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+4c^2+4d^2+4m^2-4a(b+c+d+m)}{4}\)
\(=\frac{(a^2+4b^2-4ab)+(a^2+4c^2-4ac)+(a^2+4d^2-4ad)+(a^2+4m^2-4am)}{4}\)
\(=\frac{(a-2b)^2+(a-2c)^2+(a-2d)^2+(a-2m)^2}{4}\geq 0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=2b=2c=2d=2m\)
b)
Xét hiệu
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{4}{x+y}=\frac{x+y}{xy}-\frac{4}{x+y}=\frac{(x+y)^2-4xy}{xy(x+y)}\)
\(=\frac{x^2+y^2-2xy}{xy(x+y)}=\frac{(x-y)^2}{xy(x+y)}\geq 0, \forall x,y>0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
3 tháng 3 2019
c)
Xét hiệu:
\((a^2+c^2)(b^2+d^2)-(ab+cd)^2\)
\(=(a^2b^2+a^2d^2+c^2b^2+c^2d^2)-(a^2b^2+2abcd+c^2d^2)\)
\(=a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\geq 0\)
\(\Rightarrow (a^2+c^2)(b^2+d^2)\geq (ab+cd)^2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(ad=bc\)
d)
Xét hiệu:
\(a^2+b^2-(a+b-\frac{1}{2})=a^2+b^2-a-b+\frac{1}{2}\)
\(=(a^2-a+\frac{1}{4})+(b^2-b+\frac{1}{4})\)
\(=(a-\frac{1}{2})^2+(b-\frac{1}{2})^2\geq 0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2\geq a+b-\frac{1}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)