LT
2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
LT
2
TG
25 tháng 4 2019
Áp dụng BĐT Bunhia-copxki:
Ta có: (4x+y)2=(2x.2+y.1)2\(\le\)(4x2+y2)(22+12)
<=> 1\(\le\)(4x2+y2).5
=> 4x2+y2 \(\ge\frac{1}{5}\)(đpcm)
ML
4
KB
15 tháng 3 2019
\(4x^2+y^2=4x^2+\left(1-4x\right)^2=4x^2+1-8x+16x^2=20x^2-8x+1=20\left(x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{20}\right)\)
\(=20\left[x^2-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}+\frac{1}{100}\right]=20\left(x-\frac{1}{5}\right)^2+\frac{1}{5}\ge\frac{1}{5}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}\)
15 tháng 3 2019
BĐT$\Leftrightarrow 20x^2+5y^2\geq (4x+y)^2=16x^2+8xy+y^2\Leftrightarrow 2(x-y)^2\geq 0$ (đúng)
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=\frac{1}{5}$
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
13 tháng 5 2021
\(A=\frac{3x^2+4}{4x}+\frac{3y^2+4}{4y}=\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
\(\ge\frac{3}{4}\left(x+y\right)+\frac{4}{x+y}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)+\frac{x+y}{4}+\frac{4}{x+y}\)
\(\ge\frac{1}{2}.4+2\sqrt{\frac{x+y}{4}.\frac{4}{x+y}}=2+2=4\)
Dấu \(=\)xảy ra tại \(x=y=2\).
NT
1
15 tháng 5 2022
a: Để A là số nguyên thì \(12x+4⋮4x-3\)
\(\Leftrightarrow4x-3\in\left\{1;-1;13;-13\right\}\)
hay \(x\in\left\{1;\dfrac{1}{2};4;-\dfrac{5}{2}\right\}\)
b: Để B là số nguyên thì \(y-1⋮y^2-17\)
\(\Leftrightarrow y^2-1⋮y^2-17\)
\(\Leftrightarrow y^2-17\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4;8;-8;16;-16\right\}\)
hay \(y\in\left\{4;-4;5;-5;3;-3\right\}\)
14 tháng 6 2017
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)
19 tháng 4 2017
Bài 1:
\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2-2ab-2a-2b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=1\)
Bài 2:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\)
Bài 3:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(4+1\right)\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2\)
\(\Rightarrow5\left(4x^2+y^2\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1^2=1\)
\(\Rightarrow4x^2+y^2\ge\dfrac{1}{5}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{5}\)
5 tháng 5 2017
bài 1 mình thấy sao sao ý !!
đề bài là với mọi a,b,c tùy ý và chứng minh chứ bạn làm là khai thác ý cần chứng minh để chỉ ra điều kiện mà
Ta có : 4x + y = 1 => y = 1 - 4x
=> 4x^2 + y^2 = 4x^2 + ( 1 - 4x )^2 = 20x^2 - 8x + 1 = 4 ( 5x^2 - 2x ) + 1 = 4/5 ( 25x^2 - 10x + 1 ) + 1/5 = 4/5 ( 5x-1 )^2 +1/5
Ta có : ( 5x-1)^2 >= 0
=> 4/5 ( 5x-1)^2 +1/5 >= 0 + 1/5 = 1/5
Vậy 4x^2 + y^2 >= 1/5. Dấu "=" xảy ra <=> x= 1/5
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:
\(\left[\left(2x\right)^2+y^2\right].\left(2^2+1\right)\ge\left(4x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow4x^2+y^2\ge\frac{1}{5}\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\frac{2x}{2}=y\Leftrightarrow x=y=0,2\)