Question

[Nguyễn Hà Linh]

4. Trên mặt phẳng cho n điểm sao cho khoảng cách giữa 2 điểm bất kì đôi một khác nhau. Người ta nối mỗi điểm với điểm gần nhất.

Chứng minh rằng qua mỗi điểm có không quá 5 đoạn thẳng

5. Cho 7 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 1706. 

Chứng minh rằng tồn tại 3 số a, b, c trong chúng sao cho a<b+c<4a

6. Cho tập hợp \(X=\left\{1;\sqrt{2};\sqrt{3};...;\sqrt{2012}\right\}\)

Chứng minh rằng Trong 45 số khác nhau bất kì được lấy từ X luôn tồn tại 2 số a và b sao cho  |a-b|<1

Answer 1

[Cô Hoàng Huyền]

Bài 5: 

Giả sử tồn tại 7 số không thỏa mãn điều kiện đề bài. Không mất tính quát, ta coi rằng \(x_1< x_2< ...< x_7\)

Do 7 số đã cho là các số nguyên dương nên :

\(x_2\ge x_1+1\)

\(x_3+x_1\ge4x_2\ge4\left(x_1+1\right)\Rightarrow x_3\ge3x_1+4\)

\(x_4+x_1\ge4x_3\ge4\left(3x_1+4\right)\Rightarrow x_4\ge11x_1+16\)

\(x_5+x_1\ge4x_4\ge4\left(11x_1+16\right)\Rightarrow x_5\ge43x_1+64\)

\(x_6+x_1\ge4x_5\ge4\left(43x_1+64\right)\Rightarrow x_6\ge171x_1+256\)

\(x_7+x_1\ge4x_6\ge4\left(171x_1+256\right)\Rightarrow x_7\ge683x_1+1024\)

Do x₁ là số nguyên dương nên \(x_1\ge1\Rightarrow x_7\ge683+1024=1707>1706\) (Vô lý)

Vậy nên phải tồn tại bộ ba số thỏa mãn yêu cầu của đề bài.