\(x^4+4x^2y+3y^2+6y-16=0\)

2) tìm x,y nguyên thỏa

K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 2 2017

Bài 1)

PT tương đương \((x^2+2y^2)^2=y^2-6y+16=(y-3)^2+7\)

\(\Leftrightarrow (x^2+2y^2-y+3)(x^2+2y^2+y-3)=7\)

Ta thấy \(x^2+2y^2-y+3=x^2+y^2+(y-\frac{1}{2})^2+\frac{11}{4}>2\)

Do đó \(\left\{\begin{matrix}x^2+2y^2-y+3=7\\x^2+2y^2+y-3=1\end{matrix}\right.\Rightarrow6-2y=6\Rightarrow y=0\)

\(\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2\)

Vậy \((x,y)=(2,0),(-2,0)\)

Bài 2)

PT tương đương \(5x^2+x(5y-7)+(5y^2+14y)=0\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\Delta =(5y-7)^2-20(5y^2+14y)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow -75y^2-350y+49\geq 0\)

Giải BPT trên thu được \(\frac{-35-14\sqrt{7}}{15}\leq y\leq \frac{-35+14\sqrt{7}}{15}\)

\(\Rightarrow -4\le y\le 0\). Do đó \(y\in \left\{-4,-3,-2,-1,0\right\}\)

Kết hợp với \(\Delta\) là số chính phương nên \(y=-1,0\) tương ứng với \(x=3,x=0\)

Vậy \((x,y)=(3,-1),(0,0)\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 2 2017

Câu 3)

Ta có \(A=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+3y=\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+y(x+y+z)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(\left\{\begin{matrix} \frac{z}{y}+yz\geq 2z\\ z\leq y\Rightarrow \frac{x}{z}+xy\geq\frac{x}{y}+xy\geq 2x \end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A\geq 2(x+z)+y^2=2(3-y)+y^2=(y-1)^2+5\geq 5\)

Do đó ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=1\)

3 tháng 1 2016

1.\(N=x^2+\frac{1000}{x}+\frac{1000}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^2.1000.1000}{x^2}}\)
\(\Rightarrow N\ge300\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^3=1000\Leftrightarrow x=10\)
2.\(P=\left(5x+\frac{12}{x}\right)+\left(3y+\frac{16}{y}\right)\ge2\sqrt{60}+2\sqrt{48}=4\sqrt{15}+8\sqrt{3}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow5x=\frac{12}{x};3y=\frac{16}{y}\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{12}{5}};y=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)

\(\)

3 tháng 1 2016

phải là \(\le12\)

9 tháng 2 2017

\(\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3zy+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\)

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số

\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2x^2+2y^2+2z^2+8xy+8yz+8xz}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

Xét \(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\\y^2+z^2\ge2\sqrt{y^2z^2}=2yz\\x^2+z^2\ge2\sqrt{x^2z^2}=2xz\end{matrix}\right.\)

Cộng từng vế:

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+xz\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow8\left(xy+yz+xz\right)\le8\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)\le10\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{10\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\)

Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{10}\ge\frac{1}{30}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\ge\frac{1}{30}\)

\(\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{2\left(x^2+y^2+z^2\right)+8\left(xy+yz+xz\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{2x^2+3xy+5xz}+\frac{y^4}{2y^2+3yz+5xy}+\frac{z^4}{2z^2+3xz+5yz}\ge\frac{1}{30}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{2x+3y+5z}+\frac{y^3}{2y+3z+5x}+\frac{z^3}{2z+3x+5y}\ge\frac{1}{30}\) ( đpcm )

11 tháng 2 2017

bucminh chịu chết

7 tháng 11 2018

\(a)\)\(x+xy+y=-6\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-5\)

Lập bảng xét TH ra là xong 

\(b)\) CM : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( luôn đúng ) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)

Xin thêm 1 slot đi hok về làm cho -,- 

7 tháng 11 2018

\(b)\) CM : \(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{1+1}=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\) ( bđt Cauchy-Schawarz dạng Engel ) 

Ta có : 

\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2+2017\ge\frac{\left(x+\frac{1}{x}+y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}+2017\)

\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}+2017=\frac{\left(2+\frac{4}{2}\right)^2}{2}+2017=2025\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)

Bài này còn có cách khác là sử dụng tính chất tổng 2 phân số nghịch đảo nhau nhá :)) 

Chúc bạn học tốt ~ 

21 tháng 4 2020

1,

a) Ta có \(a^2-ab+b^2=\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=0, trái với a3+b3>0

=> a2-ab+b2>0, mà

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)>0

=> a+b>0

Lại có a,b thuộc Z nên a2-ab+b2 >= 1 nên a3+b3 >=a+b

Dấu "=" xảy ra khi (a;b) \(\in\){(1;1);(1;0);(0;1)}

b) Ta xét 2 TH

-Nếu ab =< 0, ta có:

a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) >= (a+b)(a2+b2)>= a2+b2, do a+b >=1

-Nếu ab>0 kết hợp với a+b>0 => a>0; b>0 dẫn tới a+b >=2

=> a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) >=2(a2-ab+b2)

=a2+b2+(a-b)2 >=  a2+b2

Dẫn tới a3+b3 >= a2+b2

Dấu "=" xảy ra khi (a;b) \(\in\){(1;1);(1;0);(0;1)}

18 tháng 10 2019

1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)

M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a2 +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)

M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8

2) <=> (x-y)2 + (x+2)2 =8 => (x+2)2\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)

x=-4 => (y+4)2 =4 <=> y = -2;y = -6

x=-3 => (y+3)2 = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)2 =7 (vô nghiệm)

x=0 => y2 = 4 => y =2;  =-2

vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)

3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh

18 tháng 10 2019

3) sửa lại

áp dụng a2+b2+c2 \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))

dấu '=' khi x=y=z

1) Cho x > 1. Tìm GTNN của:   ​\(A=\frac{1+x^4}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)2) Trong các cặp (x;y) thỏa mãn \(\frac{x^2-x+y^2-y}{x^2+y^2-1}\le0\). Tìm cặp có tổng x + 2y lớn nhất.3) Cho x thỏa mãn \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\). Tìm GTNN của \(A=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2\)4) Tìm GTNN của \(Q=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)5) Cho x, y > 1....
Đọc tiếp

1) Cho x > 1. Tìm GTNN của:   ​\(A=\frac{1+x^4}{x\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

2) Trong các cặp (x;y) thỏa mãn \(\frac{x^2-x+y^2-y}{x^2+y^2-1}\le0\). Tìm cặp có tổng x + 2y lớn nhất.

3) Cho x thỏa mãn \(x^2+\left(3-x\right)^2\ge5\). Tìm GTNN của \(A=x^4+\left(3-x\right)^4+6x^2\left(3-x\right)^2\)

4) Tìm GTNN của \(Q=\frac{1}{2}\left(\frac{x^{10}}{y^2}+\frac{y^{10}}{x^2}\right)+\frac{1}{4}\left(x^{16}+y^{16}\right)-\left(1+x^2y^2\right)^2\)

5) Cho x, y > 1. Tìm GTNN của \(P=\frac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

6) Cho x, y, z > 0 thỏa mãn: \(xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\). Tìm GTLN của \(P=\frac{z^4}{1+z^4\left(x^4+y^4\right)}\)

7) Cho a, b, c > 0. CMR:\(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+c^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}\ge\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

8) Cho x>y>0. và \(x^5+y^5=x-y\). CMR: \(x^4+y^4<1\)

9) Cho \(1\le a,b,c\le2\). CMR: \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\le10\)

10) Cho \(x,y,z\ge0\)CMR: \(\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}+\sqrt[3]{z}\le\sqrt[3]{\frac{x+y}{2}}+\sqrt[3]{\frac{y+z}{2}}+\sqrt[3]{\frac{z+x}{2}}\)

11) Cho \(x,y\ge0\)thỏa mãn \(x^2+y^2=1\)CMR: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\le x^3+y^3\le1\)

12) Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 12. CM: \(\sqrt{3a+2\sqrt{a}+1}+\sqrt{3b+2\sqrt{b}+1}+\sqrt{3c+2\sqrt{c}+1}\le3\sqrt{17}\)

13) Cho x,y,z < 0 thỏa mãn \(x+y+z\le\frac{3}{2}\). CMR: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge3\sqrt{17}\)

14) Cho a,b > 0. CMR: \(\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\le4\left(a+b\right)\)

15) Với a, b, c > 0. CMR: \(\frac{a^8+b^8+c^8}{a^3.b^3.c^3}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

16) Cho x, y, z > 0 và \(x^3+y^3+z^3=1\)CMR: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)

3
20 tháng 1 2016

cậu đăng mỗi lần 1 đến 2 câu thôi chứ nhiều thế này ai làm cho hết được

20 tháng 1 2016

Ok lần đầu mình đăng nên chưa biết, cảm ơn cậu đã góp ý, mình sẽ rút kinh nghiệm!!

10 tháng 5 2018

\(\text{Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn }x+y+z=3\)

\(\text{Chứng minh rằng }T=\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le1\)

➤➤➤Chứng minh:

➢ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\left(\text{vì }x+y+z=3\right)=\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}\le\dfrac{x}{x+\sqrt{\left(\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\right)^2}}=\dfrac{x}{x+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

➢ Tương tự:

\(\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}\le\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

\(\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}\)

➢ Công vế theo vế 3 bất đẳng thức cùng chiều

\(\Rightarrow\dfrac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\dfrac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\dfrac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\le\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}=1\)

\(\text{Đẳng thức xảy ra khi }x=y=z=1\)

\(Max_T=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)