Question

[Phạm Hải Vũ]

1.Tìm tất cả các số nguyên dương n thoả mãn 4n⁴+1 là số nguyên tố

2.Cho 4 số nguyên dương a,b,c,d thoả mãn điều kiện ad= b²-bc+c².Chứng minh rằng a² +4b²+4c²+16d² là hợp số

Answer 1

[Bùi Võ Đức Trọng]

Ta có

   n⁴ + 4 = n⁴ + 4n² + 4 – 4n²

             = (n² + 2 )² – (2n)²

            = (n² + 2 – 2n )(n² + 2 + 2n)

Vì n⁴ + 4 là số nguyên tố nên  n² + 2 – 2n = 1 hoặc  n² + 2 + 2n = 1

Mà   n² + 2 + 2n > 1 vậy  n² + 2 – 2n = 1 suy ra n = 1

Thử lại : n = 1 thì 1⁴ + 4 = 5 là số nguyên tố

Vậy với n = 1 thì  n⁴ + 4  là số nguyên tố.