Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài 3 :
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\)
Ta có :
\(\frac{x}{x+1}=\frac{x}{x+x+y+z}=\frac{x}{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
Tương tự ta có:
\(\frac{y}{y+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)\)
\(\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)\)
\(+\frac{1}{4}\left(\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}\right)+\frac{1}{4}\left(\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\le\frac{1}{4}.6=\frac{3}{2}\)