Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Cả tử số và mẫu số của \(\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}\) đều dẫn đến \(\infty\) nên không thể trả lời ngay biểu thức đó tiến đến giới hạn nào (dạng vô định \(\left(\frac{\infty}{\infty}\right)\)). Tuy nhiên sau khi chia cả tử số và mẫu số cho \(n^2\) :
\(\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}=\frac{7-\frac{3}{n}+\frac{12}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}\)
Ta thấy ngay tử số gần đến 7 và mẫu số gần đến 1 (vì \(\lim\limits\frac{1}{n^p}=0,p\ge1\)
Điều đó cho phép ta áp dụng công thức và thu được kết quả \(\lim\limits\frac{7n^2-3n+12}{n^2+2n+2}=\lim\limits\frac{7-\frac{3}{n}+\frac{12}{n^2}}{1+\frac{2}{n}+\frac{2}{n^2}}=7\)
b) Áp dụng công thức "Nếu tồn tại \(\lim\limits a^n,k\in\)N* thì tồn tại \(\lim\limits\left(a_n\right)^k=\left(\lim\limits a_n\right)^k\)"
ta có :
\(\lim\limits a_n=\left[\lim\limits\left(\frac{3n^2+n-2}{4n^2+2n+7}\right)\right]^3\)
Mặt khác do \(\lim\limits\frac{3n^2+n-2}{4n^2+2n+7}=\lim\limits\frac{3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}{4+\frac{2}{n}+\frac{7}{n^2}}=\frac{3}{4}\)
nên \(\lim\limits a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^3=\frac{27}{64}\)
a) lim (n3 + 2n2 – n + 1) = lim n3 (1 + ) = +∞
b) lim (-n2 + 5n – 2) = lim n2 ( -1 + ) = -∞
c) lim ( - n) = lim
= lim = lim
= lim
=
.
d) lim ( + n) = lim (
+ n) = lim n (
+ 1) = +∞.
1.
\(\lim \frac{3n^2+5n+4}{2-n^2}=\lim \frac{\frac{3n^2+5n+4}{n^2}}{\frac{2-n^2}{n^2}}=\lim \frac{3+\frac{5}{n}+\frac{4}{n^2}}{\frac{2}{n^2}-1}=\frac{3}{-1}=-3\)
2.
\(\lim \frac{2n^3-4n^2+3n+7}{n^3-7n+5}=\lim \frac{\frac{2n^3-4n^2+3n+7}{n^3}}{\frac{n^3-7n+5}{n^3}}=\lim \frac{2-\frac{4}{n}+\frac{3}{n^2}+\frac{7}{n^3}}{1-\frac{7}{n^2}+\frac{5}{n^3}}=\frac{2}{1}=2\)
3.
\(\lim (\frac{2n^3}{2n^2+3}+\frac{1-5n^2}{5n+1})=\lim (n-\frac{3n}{2n^2+3}+\frac{1}{5}-n-\frac{1}{5n+1})\)
\(=\frac{1}{5}-\lim (\frac{3n}{2n^2+3}+\frac{1}{5n+1})=\frac{1}{5}-\lim (\frac{3}{2n+\frac{3}{n}}+\frac{1}{5n+1})=\frac{1}{5}-0=\frac{1}{5}\)
4.
\(\lim \frac{1+3^n}{4+3^n}=\lim (1-\frac{3}{4+3^n})=1-\lim \frac{3}{4+3^n}=1-0=1\)
5.
\(\lim \frac{4.3^n+7^{n+1}}{2.5^n+7^n}=\lim \frac{\frac{4.3^n+7^{n+1}}{7^n}}{\frac{2.5^n+7^n}{7^n}}\)
\(=\lim \frac{4.(\frac{3}{7})^n+7}{2.(\frac{5}{7})^n+1}=\frac{7}{1}=7\)
\(1^7+2^7+...+n^7=\frac{6p^4-4p^3+p^2}{3}\)
Trong đó \(p=1+2+...+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)
\(a=lim\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^n+1}{3\left(\frac{1}{3}\right)^n-12}=-\frac{1}{12}\)
\(b=lim\frac{4\left(\frac{4}{10}\right)^n+1}{\left(\frac{3}{10}\right)^n-40}=-\frac{1}{40}\)
\(c=lim\frac{1-\left(\frac{2}{12}\right)^n}{1+45\left(\frac{3}{12}\right)^n}=\frac{1}{1}=1\)
\(d=\frac{\left(-\frac{2}{3}\right)^n+1}{-2\left(-\frac{2}{3}\right)^n-12+2\left(\frac{1}{3}\right)^n}=-\frac{1}{12}\)
\(e=\frac{1-11\left(\frac{1}{3}\right)^n}{\left(\frac{1}{3}\right)^n+14\left(\frac{2}{3}\right)^n}=\frac{1}{0}=+\infty\)
\(f=\frac{\left(\frac{2}{5}\right)^n-3+\left(\frac{1}{5}\right)^n}{3\left(\frac{2}{5}\right)^n+28\left(\frac{4}{5}\right)^n}=\frac{-3}{0}=-\infty\)
a/ \(lim\left(\sqrt[3]{n-n^3}+n+\sqrt{n^2+3n}-n\right)\)
\(=lim\left(\frac{n}{\sqrt[3]{\left(n-n^3\right)^2}-n\sqrt[3]{\left(n-n^3\right)}+n^2}+\frac{3n}{\sqrt{n^2+3n}+n}\right)\)
\(=lim\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^3+2n+\frac{1}{n}}+\sqrt[3]{n^3-n}+n}+\frac{3}{\sqrt{1+\frac{3}{n}}+1}\right)=0+\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}\)
b/ \(lim\left(\frac{-2\sqrt{n}-4}{\sqrt{n-2\sqrt{n}}+\sqrt{n+4}}\right)=lim\left(\frac{-2-\frac{4}{\sqrt{n}}}{\sqrt{1-\frac{2}{\sqrt{n}}}+\sqrt{1+\frac{4}{n}}}\right)=-\frac{2}{1+1}=-1\)
c/ \(lim\left(\frac{3n^2}{\sqrt[3]{n^6+6n^5+9n^4}+\sqrt[3]{n^6+3n^5}+n^2}\right)=lim\left(\frac{3}{\sqrt[3]{1+\frac{6}{n}+\frac{9}{n^2}}+\sqrt[3]{1+\frac{3}{n}}+1}\right)=\frac{3}{3}=1\)
d/ \(lim\left(\sqrt[3]{n^3+6n}-n+n-\sqrt{n^2-4n}\right)=lim\left(\frac{6n}{\sqrt[3]{n^6+12n^4+36n^2}+\sqrt[3]{n^6+6n^4}+n^2}+\frac{4n}{n+\sqrt{n^2-4n}}\right)\)
\(=lim\left(\frac{6}{\sqrt[3]{n^3+12n+\frac{36}{n}}+\sqrt[3]{n^3+6n}+n}+\frac{4}{1+\sqrt{1-\frac{4}{n}}}\right)=0+\frac{4}{1+1}=2\)
e/ \(lim\left(\frac{-3.3^n+4.4^n}{5.3^n+\frac{3}{2}.4^n}\right)=lim\left(\frac{-3\left(\frac{3}{4}\right)^n+4}{5.\left(\frac{3}{4}\right)^n+\frac{3}{2}}\right)=\frac{0+4}{0+\frac{3}{2}}=\frac{8}{3}\)
f/ \(lim\left(\frac{9^n-5.5^n+7.7^n}{9.3^n+5^n+2.8^n}\right)=lim\left(\frac{1-5.\left(\frac{5}{9}\right)^n+7\left(\frac{7}{9}\right)^n}{9.\left(\frac{1}{3}\right)^n+\left(\frac{5}{9}\right)^n+2.\left(\frac{8}{9}\right)^n}\right)=\frac{1}{0}=+\infty\)
g/ \(lim\left(\frac{6.6^n+3^5.9^n}{3^3.9^n-\frac{1}{2}.4^n}\right)=lim\left(\frac{6\left(\frac{2}{3}\right)^n+3^5}{3^3-\frac{1}{2}\left(\frac{4}{9}\right)^n}\right)=\frac{3^5}{3^3}=9\)
3,\(\lim\limits\frac{3^n-4\times2^{n+1}-3}{3\times2^n+4^n}\)
Dấu ngoặc bạn sử dụng đấu ngoặc trên bàn phím đó, hoặc ô thứ 4 từ phải sang trên cửa sổ gõ công thức
\(lim\left(3^4.2^{n+1}-5.3^n\right)=lim\left[3^n\left(2.3^4\left(\frac{2}{3}\right)^n-5\right)\right]=+\infty\left(0-5\right)=-\infty\)
\(lim\frac{\left(n-2\right)^7\left(2n+1\right)^3}{\left(n^2+2\right)^5}=lim\frac{n^7\left(1-\frac{2}{n}\right)^7.n^3\left(2+\frac{1}{n}\right)^3}{n^{10}\left(1+\frac{2}{n^2}\right)^5}=lim\frac{\left(1-\frac{2}{n}\right)^7\left(2+\frac{1}{n}\right)^3}{\left(1+\frac{2}{n^2}\right)^5}=\frac{1.2}{1}=2\)
\(lim\frac{3^n-8.2^n-3}{3.2^n+4^n}=lim\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^n-8\left(\frac{2}{4}\right)^n-3\left(\frac{1}{4}\right)^n}{3\left(\frac{2}{4}\right)^n+1}=\frac{0}{1}=0\)