Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với n = 1 thì ta có:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}>1\)
Giả sử bất đẳng thức trên đúng tới n = k hay
\(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1.
Ta có: \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+...+\frac{1}{3k+4}\)
\(=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}\right)+\left(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}\right)\)
Ta đã có: \(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+...+\frac{1}{3k+1}>1\) nên ta cần chứng minh
\(\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}+\frac{1}{3k+4}-\frac{1}{k+1}>0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2}{\left(3k+2\right)\left(3k+3\right)\left(3k+4\right)}>0\) đúng
Vậy theo quy nạp thì \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{3n+1}>1\) đúng với mọi n nguyên dương.
Cho t hỏi sao lại có đoạn \(\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+....+\frac{1}{3k+4}\)tòi ra và phải c/minh nó lớn hơn 0??
vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé
1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)
Do đó :
\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)
2.
Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)
Do đó :
\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)
a) Ta có \(\frac{1}{n+k}>\frac{1}{2n}\)với k=1;2;...;n-1
=> \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+....+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\)
Mặt khác ta có \(\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n\left(+\left(n+1-k\right)\right)}< \frac{3}{2n}\)
\(\Leftrightarrow3k^2+3nk+n+3k\forall k=1;2;...;n\)
Với k=1 ta có \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{2n}\)
Với k=2 ta có \(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}< \frac{3}{2n}\)
..........................................
Với k=n ta có \(\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}< \frac{3}{2n}\)
Cộng từng vế của 2 BĐT trên ta được
\(2\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\right)< \frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+....+\frac{3}{2n}=\frac{3n}{2n}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)(đpcm)
Không cần chứng minh \(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\)
Lời giải:
Chứng minh vế thứ nhất:
Với mọi số tự nhiên $i< n$ ta có: $\frac{1}{n+i}> \frac{1}{n+n}$. Thay $i=1,2,...$ ta có:
$\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+n}$
$\frac{1}{n+2}>\frac{1}{n+n}$
.....
Do đó: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+n}+...+\frac{1}{n+n}=\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}$
(đpcm)
Vế thứ hai có vẻ không đúng lắm, vì $n$ càng tăng thì giá trị của tổng càng tăng theo nên mình nghĩ khi $n$ tiến tới vô cực thì tổng trên cũng vượt khỏi $\frac{3}{4}$
a) Đặt \(A=\frac{3n+1}{5n+2}\). Gọi ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = d \(\left(d\ge1\right)\)
Khi đó : \(3n+1⋮d\) và \(5n+2⋮d\)
\(\Rightarrow5\left(3n+1\right)⋮d\) và \(3\left(5n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow3\left(5n+2\right)-5\left(3n+1\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\)
Suy ra ƯCLN(3n+1 , 5n+2) = 1 , vậy A là phân số tối giản.
b) Đặt \(B=\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) . Gọi ƯCLN(n3+2n , n4+3n2+1) = d \(\left(d\ge1\right)\)
Khi đó : \(B=\frac{n\left(n^2+2\right)}{n^2\left(n+2\right)+n^2+1}\)
Ta có : \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) và \(n^2\left(n+2\right)+n^2+1⋮d\)
Từ \(n\left(n^2+2\right)⋮d\) \(\Rightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}n⋮d\\n^2+2⋮d\end{array}\right.\)
TH1. Nếu \(n⋮d\) thì ta viết dưới mẫu thức B dưới dạng :
\(n\left(n^3+3n\right)+1⋮d\) . mà n(n3+3n)\(⋮\)d => \(1⋮d\) \(\Rightarrow d\le1\)
Mà \(d\ge1\Rightarrow d=1\). Lập luận tương tự câu a) , suy ra đpcm
TH2. Nếu \(n^2+2⋮d\) thì ta viết mẫu thức B dưới dạng :
\(\left(n^4+2n^2\right)+\left(n^2+2\right)-1=\left(n^2+2\right)\left(n^2+1\right)-1⋮d\)
mà n2+2 \(⋮\)d nên \(1⋮d\Rightarrow d\le1\) mà \(d\ge1\) => d = 1
Lập luận tương tự...
a)Gọi UCLN(3n+1;5n+2) là d
Ta có:
[3(5n+2)]-[5(3n+1)] chia hết d
=>[15n+6]-[15n+5] chia hết d
=>1 chia hết d.Suy ra 3n+1 và 3n+5 là số nguyên tố cùng nhau
=>Phân số tối giản
b)Gọi d là UCLN(n3+2n;n4+3n2+1)
Ta có:
n3+2n chia hết d =>n(n3+2n) chia hết d
=>n4+2n2 chia hết d (1)
n4+3n2-(n4+2n2)=n2+1 chia hết d
=>(n2+1)2=n4+2n2+1 chia hết d (2)
Từ (1) và (2) => (n4+3n2+1)-(n4-2n2) chia hết d
=>1 chia hết d
=>d=1.Suy ra n3+2n và n4+3n2+1 là 2 số nguyên tố cùng nhau
=>Phân số trên tối giản
A< 1+1/(23-2)+1/(33-3)+...+1/(n3-n)Đặt B=1/(23-2)..... =>B=1/1.2.3+1/2.3.4+...+1/(n-1)n(n+1) =1/2.(1/1.2-1/2.3+1/2.3-1/3.4+1/3.4....-1/n(n+1))
=1/2.(1/2-1/n(n+1))=1/4-1/2.n.(n+1)<1/4
=>B<1/4 =>A=B+1<(1/4)+1
=>A<5/4
999 - 888 - 111 + 111 - 111 + 111 - 111
= 111 - 111 + 111 -111 + 111 - 111
= 0 + 111 - 111 + 111 - 111
= 111 - 111 + 111 - 111
= 0 + 111 - 111
= 111 - 111
= 0
Đáp số: 0