Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\sqrt{3}\)
\(\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2=3\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{yz}+\dfrac{2}{xz}=3\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+2.\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=3\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+2.\left(\dfrac{x+y+z}{xyz}\right)=3\)
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}+2.1=3\) ( Do x+y+z=xyz )
\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}=3-2=1\)
Vậy P = 1
Câu 1:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(x^4+y^2\geq 2\sqrt{x^4y^2}=2x^2y\Rightarrow \frac{x}{x^4+y^2}\leq \frac{x}{2x^2y}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(1)\)
\(x^2+y^4\geq 2\sqrt{x^2y^4}=2xy^2\Rightarrow \frac{y}{x^2+y^4}\leq \frac{y}{2xy^2}=\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}(2)\)
Lấy \((1)+(2)\Rightarrow A\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
Vậy \(A_{\max}=1\). Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=1\)
Câu 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\right)(x^2+y^2+2xy)\geq (1+1)^2\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{x^2+y^2+2xy}=\frac{4}{(x+y)^2}\geq \frac{4}{1}=4(*)\)
(do \(x+y\leq 1\) )
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(\frac{1}{4xy}+4xy\geq 2\sqrt{\frac{4xy}{4xy}}=2(**)\)
\(x+y\geq 2\sqrt{xy}\Leftrightarrow 1\geq 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\leq \frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq \frac{5}{4.\frac{1}{4}}=5(***)\)
Cộng \((*)+(**)+(***)\Rightarrow B\geq 4+2+5=11\)
Vậy \(B_{\min}=11\)
Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(A=\frac{x^2+4y^2-3y^2}{xy}\ge\frac{2\sqrt{x^2.4y^2}}{xy}-\frac{3y}{x}\)
do x lớn hơn bằng 2y nên \(-\frac{3y}{x}\ge-\frac{3}{2}\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=2y
Em thử nha, sai thì thôi, mới học dạng này thôi ạ.
Ta có \(A=\frac{x^2+2y^2}{xy}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2+2}{\left(\frac{x}{y}\right)}\) (chia cả tử và mẫu cho y2)
Đặt \(\frac{x}{y}=t>0\)(*) thì \(x=ty\).
\(gt\Leftrightarrow ty^2+4\le2y\Leftrightarrow ty^2-2y+4\le0\) (1)
Ta sẽ chứng minh \(t\le\frac{1}{4}\) (**). Thật vậy, giả sử \(t>\frac{1}{4}\) khi đó:
\(ty^2-2y+4>\frac{1}{4}y^2-2y+4=\frac{1}{4}\left(y-4\right)^2\ge0\) tức là \(ty^2-2y+4>0\)(trái với (1), tức là trái với giả thiết, vô lí)
Do đó (**) đúng. Từ (*) và (**) ta có \(0< t\le\frac{1}{4}\).
Mặt khác \(A=\frac{x^2+2y^2}{xy}=\frac{\left(\frac{x}{y}\right)^2+2}{\left(\frac{x}{y}\right)}\)
\(=\frac{t^2+2}{t}=32t+\frac{2}{t}-31t\ge2\sqrt{32t.\frac{2}{t}}-31t\)
\(\ge16-31.\frac{1}{4}=\frac{33}{4}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(t=\frac{1}{4}\) tức là \(x=\frac{y}{4}\)
\(0\ge\frac{y^2}{4}-2y+4\). Dễ thấy \(VP=\frac{1}{4}\left(y-4\right)^2\ge0\) do đó VT = VP = 0 <=> y = 4 suy ra x = 1
Vậy..