Question

[Minh Hoàng]

1.Cho tam giác ABC vuông tại A có Ah là đường cao. E là hình chiếu H trên AC, D là hình chiếu H trên AB

a) Chứng minh \(\dfrac{DB}{EC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^3\)

b) Cho BC = 10cm, AH = 5cm. Tính S_ADHE ?

c) Kẻ phân giác BI (\(I\in AC\) ) và phân giác CF (\(F\in AB\) ) cắt nhau tại K. Chứng minh BI.CF = 2.BK.CK

2. Chứng minh hệ thức lượng đảo : nếu \(\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\) hay AB.AC = BC.AH thì tam giác ABC cuông tại A có AH đường và H nằm giữa B và C

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1:

Vì \(DH\parallel AC\Rightarrow \frac{BD}{BA}=\frac{BH}{BC}\) (định lý Ta-lét)

Vì \(EH\parallel BA\Rightarrow \frac{EC}{CA}=\frac{CH}{CB}\) (Ta-lét)

\(\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{BH}{CH}(1)\)

Theo công thức lượng trong tam giác vuông (sgk) thì :

\(\left\{\begin{matrix} AB^2=BH.BC\\ AC^2=CH.CB\end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{BH}{CH}=\frac{AB^2}{AC^2}(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{BD}{BA}.\frac{CA}{EC}=\frac{AB^2}{AC^2}\)

\(\Rightarrow \frac{BD}{EC}=\frac{AB^3}{AC^3}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^3\) (đpcm)

b)

Ta có: \(BH+CH=BC=10\)

\(BH.CH=AH^2=25\) (theo hệ thức lượng)

\(\Rightarrow BH=CH=5\) (cm)

Theo hệ thức lượng:

\(\frac{1}{DH^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow DH=\frac{5}{\sqrt{2}}\)

\(\frac{1}{HE^2}=\frac{1}{AH^2}+\frac{1}{HC^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{5^2}\Rightarrow HE=\frac{5}{\sqrt{2}}\)

\(S_{ADHE}=DH.HE=\frac{25}{2}\) (cm vuông)

Answer 2

[Akai Haruma]

1c)

Theo tính chất đường phân giác:

\(\frac{KI}{BK}=\frac{CI}{CB}\Rightarrow \frac{BI}{BK}=\frac{CI+CB}{CB}\)

\(\frac{KF}{CK}=\frac{BF}{BC}\Rightarrow \frac{CF}{CK}=\frac{BF+BC}{BC}\)

\(\Rightarrow \frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(CI+CB)(BF+BC)}{BC^2}(1)\)

Cũng theo tính chất tia phân giác:

\(\frac{CI}{AI}=\frac{BC}{AB}\Rightarrow \frac{CI}{AC}=\frac{BC}{BC+AB}(2)\)

\(\frac{BF}{AF}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{BF}{BA}=\frac{BC}{AC+BC}(3)\)

Từ (1);(2);(3) , thay thế và rút gọn suy ra:

\(\frac{BI}{BK}.\frac{CF}{CK}=\frac{(AB+BC+AC)^2}{(AB+BC)(AC+BC)}\)

\(=\frac{AB^2+AC^2+BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}\)

\(=\frac{2BC^2+2(AB.AC+AB.BC+AC.BC)}{AB.AC+AB.BC+AC.BC+BC^2}=2\) (theo định lý Pitago)

Do đó:
\(BI.CF=2BK.CK\) (đpcm)