Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đề bài:
Cho \(A M\), \(A N\) là tiếp tuyến của (O), \(M I\) là đường kính của (O). Gọi \(P\) là trung điểm của \(A O\). \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\).
- Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
- Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\). Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).
Giải quyết bài toán:
1. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
1.1. Các tính chất quan trọng
- \(A M\) và \(A N\) là các tiếp tuyến từ điểm \(A\) đến đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), vì vậy ta có:
\(A M = A N (\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{m}ộ\text{t}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}) .\)
Hơn nữa, tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, do đó:
\(A M \bot O M \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} A N \bot O N .\) - \(M I\) là đường kính của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\), do đó \(O M = O I\).
- \(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó:
\(A P = P O .\)
1.2. Chứng minh rằng \(A E O M\) là hình bình hành
Để chứng minh \(A E O M\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và bằng nhau.
- Cặp 1: \(A E \parallel O M\)
Ta đã biết rằng \(M P\) cắt \(N I\) tại \(E\), và \(P\) là trung điểm của \(A O\), do đó, ta có thể sử dụng tính chất của các đường chéo cắt nhau tại trung điểm để chứng minh \(A E \parallel O M\). Điều này là do \(M P\) và \(N I\) là các đường chéo của các tam giác đồng dạng, và sự cắt nhau tại \(P\) tạo ra mối quan hệ song song giữa \(A E\) và \(O M\). - Cặp 2: \(A M \parallel E O\)
Xét \(\triangle A M O\) và \(\triangle E O M\). Ta có \(A M = E O\) (vì \(A M = A N\) và \(A N = E O\)do \(A M\) là tiếp tuyến và \(O I = O M\)). Hơn nữa, góc \(\angle A M O = \angle E O M\) vì chúng là góc đối đỉnh. Do đó, theo định lý đồng dạng, ta có:
\(A M \parallel E O .\)
Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
2. Chứng minh rằng \(A I \bot O K\).
2.1. Tiếp tuyến tại \(I\) của (O) cắt \(M N\) tại \(K\)
- Tiếp tuyến tại điểm \(I\) vuông góc với bán kính \(O I\) tại \(I\), tức là:
\(A I \bot O I .\) - Tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại điểm \(K\), và ta cần chứng minh rằng \(A I \bot O K\).
2.2. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến
- Tính chất tiếp tuyến chỉ ra rằng tiếp tuyến tại \(I\) của đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) vuông góc với bán kính \(O I\).
- Khi tiếp tuyến này cắt \(M N\) tại \(K\), ta có thể xem \(\triangle A O K\) và \(\triangle A I K\) trong đó góc \(\angle A I K\) là góc vuông. Ta cần chứng minh rằng góc này thực sự là góc vuông.
2.3. Góc vuông giữa \(A I\) và \(O K\)
- Xét các tam giác vuông \(\triangle A I K\) và \(\triangle O K I\), ta có:
\(\angle A I K = 90^{\circ} (\text{do}\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}) .\)
Do đó, \(A I \bot O K\), vì \(A I\) là tiếp tuyến tại \(I\) và \(O K\) là tiếp tuyến tại \(K\).
Kết luận:
- AEOM là hình bình hành: Dựa vào các tính chất của tiếp tuyến và đoạn cắt nhau, ta đã chứng minh được rằng \(A E O M\) là hình bình hành.
- AI vuông góc với OK: Sử dụng tính chất của tiếp tuyến tại \(I\) và các tam giác vuông, ta đã chứng minh được rằng \(A I \bot O K\).
M A B C D I J O' O
1/ Theo tính chất các tiếp tuyến cắt nhau ta có : AC = CM ; BD = MD
Suy ra : \(AC.BD=MC.MD=OM^2=R^2\) (OM là đường cao tam giác vuông COD)
2/ Vì C và D là giao điểm của các tiếp tuyến cắt nhau nên theo tính chất ta có
OC vuông góc với AM và OD vuông góc với BM. Mà góc AMB chắn nửa cung tròn
đường kính AB nên có số đo bằng 90 độ hay AM vuông góc với BM.
Từ đó ta có \(\hept{\begin{cases}OI\text{//}MB\\OA=OB\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}OJ\text{//}MA\\OA=OB\end{cases}}\)
Suy ra OI và OJ là các đường trung bình của tam giác AMB => IA = IM và JB = JM
Lại tiếp tục suy ra được IJ là đường trung bình của tam giác AMB => IJ // AB
3/
Gọi O' là đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD và d khoảng cách từ O' đến CD.
Khi đó ta nhận thấy rằng nếu CD chuyển động nhưng vẫn tiếp xúc với (O) thì d không đổi.
Theo định lí Pytago thì : \(O'D=\sqrt{d^2+\left(\frac{CD}{2}\right)^2}\)
Mà d không đổi, do vậy min O'D <=> min CD.
Ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của CD.
Ta có : \(CD^2=\left(MC+MD\right)^2\ge4MC.MD=4OM^2\)
\(\Rightarrow CD\ge2OM\) (hằng số). Để điều này xảy ra thì M là điểm chính giữa cung AB.
Vậy M là điểm chính giữa cung AB thì (CIJD) có bán kính nhỏ nhất.
Nếu không ai giải thì vẽ cho mình cái hình mình giải giúp cho. Nhớ vẽ luôn cả tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD nhé
1. Xét tứ giác CEHD ta có:
góc CEH = 900 (Vì BE là đường cao)
góc CDH = 900 (Vì AD là đường cao)
=> góc CEH + góc CDH = 1800
Mà góc CEH và góc CDH là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp
2. Theo giả thiết: BE là đường cao => BE ┴ AC => góc BEA = 900.
AD là đường cao => AD ┴ BC => BDA = 900.
Như vậy E và D cùng nhìn AB dưới một góc 900 => E và D cùng nằm trên đường tròn đường kính AB.
Vậy bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn.
3. Theo giả thiết tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là đường trung tuyến
=> D là trung điểm của BC. Theo trên ta có góc BEC = 900.
Vậy tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến => DE = 1/2 BC.
4. Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE nên O là trung điểm của AH => OA = OE => tam giác AOE cân tại O => góc E1 = góc A1 (1).
Theo trên DE = 1/2 BC => tam giác DBE cân tại D => góc E3 = góc B1 (2)
Mà góc B1 = góc A1 (vì cùng phụ với góc ACB) => góc E1 = góc E3 => góc E1 + góc E2 = góc E2 + góc E3
Mà góc E1 + góc E2 = góc BEA = 900 => góc E2 + góc E3 = 900 = góc OED => DE ┴ OE tại E.
Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại E.
5. Theo giả thiết AH = 6 Cm => OH = OE = 3 cm.; DH = 2 Cm => OD = 5 cm. Áp dụng định lí Pitago cho tam giác OED vuông tại E ta có ED2 = OD2 – OE2 ↔ ED2 = 52 – 32 ↔ ED = 4cm
Bài toán: Cho AM, AN là tiếp tuyến của (O), MI là đường kính của (O). Gọi P là trung điểm của AO. MP cắt NI tại E.
Giải pháp bài 1: Chứng minh AEOM là hình bình hành
1.1. Sử dụng tính chất của tiếp tuyến
\(A M = A N (\text{c} \overset{ˋ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{chi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u}\&\text{nbsp};\text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\&\text{nbsp};\text{tuy} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ừ\&\text{nbsp};\text{A}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{n}\&\text{nbsp};(\text{O}))\)
và các đoạn \(A M \bot O M\) và \(A N \bot O N\) (tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc).
1.2. Tính chất của trung điểm P
1.3. Đoạn \(M P\) và \(N I\) cắt nhau tại \(E\)
1.4. Các bước tiếp theo
Vì chưa có đủ thông tin chi tiết về vị trí điểm \(E\), chúng ta cần sử dụng các định lý về tứ giác trong hình học phẳng, đặc biệt là việc áp dụng định lý về hình bình hành.
Giải pháp bài 2: Chứng minh rằng AI vuông góc với OK
2.1. Tiếp tuyến tại I của (O)
2.2. Góc vuông giữa AI và OK
Kết luận:
Tham khảo