K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
QD
2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
2 tháng 9
Do x=99 nên \(x-99=0\)
Ta có:
\(P=x^{100}-100x^{99}+100x^{98}-100x^{97}+\cdots+100x^2-100x+2124\)
\(=\left(x^{100}-99x^{99}\right)-\left(x^{99}-99x^{98}\right)+\cdots+\left(x^2-99x\right)-\left(x-99\right)+2025\)
\(=x^{99}\left(x-99\right)-x^{98}\left(x-99\right)+\cdots+x\left(x-99\right)-\left(x-99\right)+2025\)
\(=x^{99}.0-x^{98}.0+\cdots+x.0-0+2025\)
\(=0+0+\cdots+0+2025=2025\)
TH
Trần Hoàng Trung
VIP
3 tháng 9
Đề bài:
\(P = x^{100} - 100 x^{99} + 100 x^{98} - 100 x^{97} + \hdots - 100 x + 2124\)
với \(x = 99\). Tính giá trị \(P\).
Bước 1: Phân tích biểu thức
Biểu thức gồm:
- \(x^{100}\)
- Các số hạng có dạng \(\pm 100 x^{k}\) với \(k = 99 , 98 , 97 , . . . , 1\)
- Hằng số \(2124\)
Nhìn kỹ, các số hạng từ \(x^{99}\) đến \(x\) đều có hệ số \(- 100\) hoặc \(+ 100\) xen kẽ dấu âm dương.
Bước 2: Viết lại biểu thức rõ ràng hơn
Ta có thể tách biểu thức như sau:
\(P = x^{100} + \sum_{k = 99 , 97 , 95 , . . .}^{1} 100 x^{k} - \sum_{k = 99 , 98 , 96 , 94 , . . .}^{2} 100 x^{k} + 2124\)
Nhưng câu hỏi có dấu trừ \(- 100 x^{99} + 100 x^{98} - 100 x^{97} + \hdots\), tức dấu thay đổi từng số hạng.
Cụ thể:
- Số hạng thứ 1: \(x^{100}\)
- Số hạng thứ 2: \(- 100 x^{99}\)
- Số hạng thứ 3: \(+ 100 x^{98}\)
- Số hạng thứ 4: \(- 100 x^{97}\)
- ... cứ thế tiếp tục xen kẽ dấu âm dương cho đến \(- 100 x\)
- Cuối cùng cộng \(2124\)
Bước 3: Tách tổng thành hai phần:
Gọi
\(S = \sum_{k = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} 100 x^{100 - k}\)
Ta có:
\(P = x^{100} + S + 2124\)
Bước 4: Viết \(S\) như sau:
\(S = 100 \sum_{k = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{k} x^{100 - k} = 100 \sum_{m = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{m} x^{100 - m}\)
Thay đổi chỉ số:
Gọi \(j = 100 - m\), khi \(m = 1 \Rightarrow j = 99\), khi \(m = 99 \Rightarrow j = 1\)
Vậy:
\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{100 - j} x^{j}\)
Nhưng \(\left(\right. - 1 \left.\right)^{100 - j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{100} \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = 1 \cdot \left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{j}\) (vì \(\left(\right. - 1 \left.\right)^{- j} = \left(\right. - 1 \left.\right)^{j}\)).
Nên:
\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} x^{j}\)
Bước 5: Thay \(x = 99\):
\(S = 100 \sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} 99^{j}\)
Bước 6: Tính tổng:
\(\sum_{j = 1}^{99} \left(\right. - 1 \left.\right)^{j} 99^{j} = - 99 + 99^{2} - 99^{3} + 99^{4} - \hdots + \left(\right. - 1 \left.\right)^{99} 99^{99}\)
Bước 7: Nhận xét
Đây là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu:
\(a_{1} = - 99\)
Tỷ số công:
\(r = - 99\)
Số hạng tổng:
\(n = 99\)
Tổng của cấp số nhân:
\(S_{n} = a_{1} \frac{1 - r^{n}}{1 - r} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{1 + 99} = \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{100}\)
Bước 8: Tính \(S\):
\(S = 100 \times S_{n} = 100 \times \left(\right. \left(\right. - 99 \left.\right) \times \frac{1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99}}{100} \left.\right) = - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99} \left.\right)\)
Bước 9: Tính \(P\):
\(P = x^{100} + S + 2124 = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - 99 \left.\right)^{99} \left.\right) + 2124\)
Bước 10: Chú ý về dấu lũy thừa \(\left(\right. - 99 \left.\right)^{99}\):
\(\left(\right. - 99 \left.\right)^{99} = - \left(\right. 99 \left.\right)^{99}\)
Vậy:
\(P = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 - \left(\right. - \left(\right. 99 \left.\right)^{99} \left.\right) \left.\right) + 2124 = 99^{100} - 99 \left(\right. 1 + 99^{99} \left.\right) + 2124\)
Bước 11: Phân tích thêm
\(P = 99^{100} - 99 - 99 \times 99^{99} + 2124 = 99^{100} - 99 \times 99^{99} - 99 + 2124\)
Bước 12: Nhận xét
Lưu ý:
\(99^{100} = 99 \times 99^{99}\)
Nên:
\(P = \left(\right. 99 \times 99^{99} \left.\right) - 99 \times 99^{99} - 99 + 2124 = 0 - 99 + 2124 = 2124 - 99 = \boxed{2025}\)
Kết luận:
\(\boxed{P = 2025}\)
2 tháng 7 2019
Câu 2 tham khảo tại
Câu hỏi của Hang Le - Toán lớp 7 | Học trực tuyến
Học tốt!!!!
29 tháng 7 2016
bài 1
A(x)=\(x^{99}-100x^{98}+100x^{97}-100x^{96}+...+100x+1\)
= \(x^{99}-\left(99+1\right)x^{98}+\left(99+1\right)x^{97}-\left(99+1\right)x^{96}+...+\left(99+1\right)x-1\)
thay 99=x ta được:
A(x)=\(x^{99}-\left(x+1\right)x^{98}+\left(x+1\right)x^{97}-\left(x+1\right)x^{96}+...+\left(x+1\right)x-1\)
= \(x^{99}-x^{99}-x^{98}+x^{98}+x^{97}-x^{97}-x^{96}+...+x^2+x-1\)
=x-1
thay x=99 vào đa thức A(x) ta được :
A(99)=99-1
=98
vậy tại x=99 thì giá trị của A(x)=98
bài 2:
tại x=1 thay vào đa thức P(x) ta được :
P(1)=\(100.1^{100}+99.1^{99}+...+2.1^2+1\)
= 100+99+...+2+1
=5050
vậy tại x=1 thì giá trị của P(x)=5050
B
0
13 tháng 7 2019
\(x+\frac{1}{100}+x+\frac{2}{100}+...+x+\frac{99}{100}=100x\)
\(\Rightarrow99x+\frac{1+2+...+99}{100}=100x\)
\(\Rightarrow100x-99x=\frac{\frac{\left(1+99\right).99}{2}}{100}\)
\(\Rightarrow x=\frac{99}{2}\)
Vậy \(x=\frac{99}{2}\)
KN
13 tháng 7 2019
\(x+\frac{1}{100}+x+\frac{2}{100}+x+\frac{3}{100}+...+x+\frac{99}{100}=100x\)
\(\Leftrightarrow99x+\frac{1+2+3+...+99}{100}=100x\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{1+2+3+...+99}{100}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{\frac{99\left(99+1\right)}{2}}{100}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{4950}{100}\)
\(\Leftrightarrow x=\frac{99}{2}\)
100x + 100 = 900
100x = 900 - 100
100x = 800
x = 800 : 100
x = 8
100x + 100 = 900
100x = 900 - 100
100x = 800
x = 800 : 100
x = 8
100x + 100 = 900
100x = 900 - 100
100x = 800
x = 800 : 100
x = 8
x = 8
nhớ li ke nha