Question

[Mai Ngô]

1. Xét sự biến thiên của các hàm số sau trên khoảng chỉ ra:

a. y = \(\sqrt{x}\) trên (0;+∞)

b. y = \(\sqrt{x-1}\) trên khoảng xác định của nó

2. Tìm m để các hàm số sau đồng biến trên khoảng đã được chỉ ra

a. y = mx\(^3\) trên R

b. y = \(\sqrt{x-m}\) trên (2;+∞)

c. y= \(\frac{m}{x^2}\) trên (0;+∞)

Answer 1

[Akai Haruma]

1.

a) Lấy $x_1\neq x_2\in (0;+\infty)$

Ta có:
\(\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}}{x_1-x_2}=\frac{1}{\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}}>0\)

\(\Rightarrow \) hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$

b) Lấy $x_1\neq x)2\in [1+\infty)$

Ta có:

\(\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1-1}-\sqrt{x_2-1}}{x_1-x_2}=\frac{1}{\sqrt{x_1-1}+\sqrt{x_2-1}}>0\)

Do đó hàm số đồng biến tập xác định $[1;+\infty)$

Answer 2

[Akai Haruma]

Lời giải:

a) Lấy $x_1,x_2\in\mathbb{R}; x_1\neq x_2$

Để $y=mx^3$ đồng biến thì:

$\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{m(x_1^3-x_2)^3}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow m(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)>0$

$\Leftrightarrow m>0$ (do $x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+\frac{x_2}{2})^2+\frac{3}{4}x_2^2>0$ với mọi $x_1\neq x_2$

b)

Điều kiện: $m\leq 2$

Ta thấy, với $x_1\neq x_2\in (2;+\infty)$:

\(\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{\sqrt{x_1-m}-\sqrt{x_2-m}}{x_1-x_2}=\frac{1}{\sqrt{x_1-m}+\sqrt{x_2-m}}>0\) với mọi $x\in (2;+\infty); m\leq 2$

Do đó hàm số đồng biến khi $m\leq 2$

c)

Lấy $x_1,x_2\in (0;+\infty)$. Để hàm số đồng biến trên $(0;+\infty)$ thì:

$\frac{y(x_1)-y(x_2)}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow (\frac{m}{x_1^2}-\frac{m}{x_2^2}).\frac{1}{x_1-x_2}>0$

$\Leftrightarrow \frac{-m(x_2+x_1)}{x_1^2x_2^2}>0$

$\Leftrightarrow -m>0$ (do $\frac{x_2+x_1}{x_1^2x_2^2}>0$ với mọi $x_1,x_2>0$

$\Leftrightarrow m< 0$