Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(2.\) Tính chất: Trong \(n\) số nguyên liên tiếp có một và chỉ một số chia hết cho \(n\)
Giả sử \(n,\) \(n+1,...,\) \(n+1899\) là dãy \(1900\) số tự nhiên liên tiếp \(\left(1\right)\)
Xét \(1000\) số tự nhiên liên tiếp từ \(n,\) \(n+1,...,\) \(n+999\) \(\left(2\right)\) thuộc dãy số \(\left(1\right)\)
Theo tính chất trên, sẽ có một số chia hết cho \(1000\)
Giả sử số đó là \(n_0\), khi đó \(n_0\) có tận cùng là \(3\) chữ số \(0\) và \(m\) là tổng các chữ số của \(n_0\)
Khi đó, ta xét \(27\) số tự nhiên gồm:
\(n_0,\) \(n_0+9,\) \(n_0+19,\) \(n_0+29,\) \(n_0+39,...,\) \(n_0+99,\) \(n_0+199,...,\) \(n_0+899\) \(\left(3\right)\)
Sẽ có tổng các chữ số gồm \(27\) số tự nhiên liên tiếp là \(m,\) \(m+1,\) \(m+2,...,\) \(m+26\)
Do đó, có \(1\) số chia hết cho \(27\)
Vậy, trong \(1900\) số tự nhiên liên tiếp có \(1\) số có tổng các chữ số chia hết cho \(27\)
\(2b.\)
Với mọi \(m;n\in Z\), ta có:
\(mn\left(m^4-n^4\right)=mn\left[\left(m^4-1\right)-\left(n^4-1\right)\right]=mn\left(m^4-1\right)-mn\left(n^4-1\right)\)
\(\text{*)}\) Xét \(mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2+1\right)\)
\(=mn\left(m^2-1\right)\left[\left(m^2-4\right)+5\right]\)
\(=mn\left(m^2-1\right)\left(m^2-4\right)+5mn\left(m^2-1\right)\)
\(mn\left(m^4-1\right)=mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)+5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)
Vì \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\) là tích của \(5\) số nguyên liên tiếp nên \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\) chia hết cho \(2;3\) và \(5\)
Mà \(\left(2;3;5\right)=1\)
Do đó, \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\left(m-2\right)\left(m+2\right)\) chia hết cho \(2.3.5=30\) \(\left(1\right)\)
Mặt khác, \(m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\) chia hết cho \(6\) (tích của \(3\) số nguyên liên tiếp)
nên \(5mn\left(m-1\right)\left(m+1\right)\) chia hết cho \(30\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) , suy ra \(mn\left(m^4-1\right)\) chia hết cho \(30\) \(\left(\text{*}\right)\)
Tương tự, ta cũng chứng minh \(mn\left(n^4-1\right)\) chia hết cho cho \(30\) \(\left(\text{**}\right)\)
Từ \(\left(\text{*}\right)\) và \(\left(\text{**}\right)\) suy ra \(mn\left(m^4-n^4\right)\) chia hết cho \(30\) với mọi \(m;n\in Z\)
Đề câu \(a.\) sai rồi nha bạn!
Ví dụ, với \(n=2\) thì \(3^{2.2+1}+2^{2.2+2}=3^5+2^6=307\) không chia hết cho \(7\) (vô lí)
Hiển nhiên, với công thức tổng quát \(3^{2n+1}+2^{2n+2}\) sẽ không chia hết cho \(7\) với \(n=2\)
\(-------------\)
\(a.\) \(3^{2n+1}+2^{n+2}=3^{2n}.3+2^n.2^2\)
\(=9^n.3+2^n.4\)
\(=9^n.3-2^n.3+2^n.3+2^n.4\)
\(=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)\)
\(=3\left(9^n-2^n\right)+2^n\left(3+4\right)\)
\(=3\left(9-2\right)\left(9^{n-1}+9^{n-2}.2+9^{n-3}.2^2+...+2^{n-1}\right)+7.2^n\)
\(3^{2n+1}+2^{n+2}=3.7M+7.2^n\)
Vì \(3.7M\) chia hết cho \(7\) và \(7.2^n\) chia hết cho \(7\) nên \(3.7M+7.2^n\) chia hết cho \(7\)
Vậy, \(3^{2n+1}+2^{n+2}\) chia hết cho \(7\)