Question

[Nguyễn Mỹ Linh]

1) Viet phuong trinh mat cau di qua 3 diem A(2;1;1) B(1;0;0), C(-2;-3;4) va co tam thuoc mat phang (Oyz)

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Tâm mặt cầu cách đều A,B,C nên nằm trên giao của mp trung trực AB và AC, do đó nó nằm trên giao của 3 mặt: trung trực AB, trung trực AC và (Oyz)

\(\overrightarrow{BA}=\left(1;1;1\right)\) ; \(\overrightarrow{CA}=\left(4;4;-3\right)\)

Gọi D là trung điểm AB \(\Rightarrow D\left(\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)

Phương trình mp trung trực của AB:

\(1\left(x-\dfrac{3}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+1\left(z-\dfrac{1}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+y+z-\dfrac{5}{2}=0\)

Gọi E là trung điểm AC \(\Rightarrow E\left(0;-1;\dfrac{5}{2}\right)\)

Pt mặt trung trực AC:

\(4x+4\left(y+1\right)-3\left(z-\dfrac{5}{2}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4x+4y-3z+\dfrac{23}{2}=0\)

(Oyz) có pt \(x=0\)

Do đó tọa độ tâm I mặt cầu là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z-\dfrac{5}{2}=0\\4x+4y-3z+\dfrac{23}{2}=0\\x=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(0;-\dfrac{4}{7};\dfrac{43}{14}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{IB}=\left(1;\dfrac{4}{7};-\dfrac{43}{14}\right)\Rightarrow R^2=IB^2=\dfrac{2109}{196}\)

Phương trình: \(x^2+\left(y+\dfrac{4}{7}\right)^2+\left(z-\dfrac{43}{14}\right)^2=\dfrac{2109}{196}\)