Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(1.\) Gỉa sử : \(\sqrt{25-16}< \sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(\Leftrightarrow3< 1\) ( Vô lý )
\(\Rightarrow\sqrt{25-16}>\sqrt{25}-\sqrt{16}\)
\(2.\sqrt{a}-\sqrt{b}< \sqrt{a-b}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2< a-b\)
\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b< a-b\)
\(\Leftrightarrow2b-2\sqrt{ab}< 0\)
\(\Leftrightarrow2\left(b-\sqrt{ab}\right)< 0\)
Ta có :\(a>b\Leftrightarrow ab>b^2\Leftrightarrow\sqrt{ab}>b\)
\(\RightarrowĐpcm.\)
\(2a.\) Áp dụng BĐT Cauchy , ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\left(a;b\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(b.\) Áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương , ta có :
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xy}}\left(x,y>0\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{yz}}\left(y,z>0\right)\left(2\right)\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{2}{\sqrt{xz}}\left(x,z>0\right)\left(3\right)\)
Cộng từng vế của ( 1 ; 2 ; 3 ) , ta được :
\(2\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge2\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\)
\(3a.\sqrt{x-4}=a\left(a\in R\right)\left(x\ge4;a\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x-4=a^2\)
\(\Leftrightarrow x=a^2+4\left(TM\right)\)
\(3b.\sqrt{x+4}=x+2\left(x\ge-2\right)\)
\(\Leftrightarrow x+4=x^2+4x+4\)
\(\Leftrightarrow x^2+3x=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\left(TM\right)\\x=-3\left(KTM\right)\end{matrix}\right.\)
KL....
\(\dfrac{\sqrt{1\left(x-1\right)}}{x}\le\dfrac{1+x-1}{2x}=\dfrac{1}{2}\) ( cauchy )
TT,\(\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}};\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
cộng vế theo vế => đpcm
Thì biết pass facebook thôi chứ cũng không biết có hack không
Bạn ấy đăng nhập bằng FACEBOOK mà
a)\(A=\sqrt{2}-\sqrt{12-8\sqrt{2}}\)
\(A=\sqrt{2}-\sqrt{\left(2\sqrt{2}-2\right)^2}\)
\(A=\sqrt{2}-2\sqrt{2}+2\)
\(A=2-\sqrt{2}\)
c)\(C=\dfrac{2\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{10}-\sqrt{2}}=\dfrac{2\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-1\right)}=\dfrac{\sqrt{2}\sqrt{3-\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{6-2\sqrt{5}}}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}{\sqrt{5}-1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}-1}=1\)
d)với x,y,x>0 xyz=100 =>\(\sqrt{xyz}=\sqrt{100}=10\)
\(D=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+10}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{10\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+10\sqrt{z}+10}\)
\(D=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+\sqrt{xyz}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{xyz^2}}{\sqrt{xz}+\sqrt{xyz^2}+\sqrt{xyz}}\)
\(D=\dfrac{1}{\sqrt{y}+1+\sqrt{yz}}+\dfrac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}+\dfrac{\sqrt{yz}}{1+\sqrt{yz}+\sqrt{y}}\)
\(D=\dfrac{1+\sqrt{y}+\sqrt{yz}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1}=1\)
mình chỉ giải được câu a,c,d còn câu b mình nghĩ sai đề
\(\left(\dfrac{1}{x},\dfrac{1}{y},\dfrac{1}{z}\right)\rightarrow\left(a,b,c\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\ab+bc+ca=1\end{matrix}\right.\)
Và \(Q=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+1}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b^2+1}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{bc}{a^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{ab}{c^2+ab+bc+ca}}+\sqrt{\dfrac{ca}{b^2+ab+bc+ca}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\dfrac{ca}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{a+b}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{a+c}{a+c}+\dfrac{b+c}{b+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" <=> \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
Lời giải:
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\Leftrightarrow x+y+z=xyz\)
\(\Rightarrow x(x+y+z)=x^2yz\)
\(\Rightarrow x(x+y+z)+yz=x^2yz+yz\Leftrightarrow (x+y)(x+z)=yz(1+x^2)\)
Do đó: \(\frac{x}{\sqrt{yz(x^2+1)}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}\). Tương tự với các phân thức còn lại suy ra:
\(Q=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}+\frac{y}{\sqrt{(y+z)(y+x)}}+\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(Q\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{y}{y+z}+\frac{y}{y+x}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{z+x}+\frac{z}{z+y}\right)\)
\(\Leftrightarrow Q\leq \frac{1}{2}\left(\frac{x+y}{x+y}+\frac{y+z}{y+z}+\frac{z+x}{z+x}\right)=\frac{3}{2}\)
Vậy \(Q_{\max}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{3}\)
from giả thiết => x+y+z=xyz
biến đổi như sau:\(\dfrac{x}{\sqrt{yz\left(1+x^2\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x^2yz}}=\dfrac{x}{\sqrt{yz+x\left(x+y+z\right)}}=\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
=\(\sqrt{\dfrac{x^2}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{x+z}\right)\)
Tham khảo tại đây:
Câu hỏi của Hồ Minh Phi - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
2) \(\dfrac{1}{1+a}=1-\dfrac{1}{1+b}+1-\dfrac{1}{1+c}=\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}}\)
\(\dfrac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\)
Nhân vế theo vế rồi rút gọn, ta được: \(abc\le\dfrac{1}{8}\)
Có dễ quá không??? Cho xin 1 slot =))