Bài 1: Cho n là số nguyên dương lớn hơn 1.Tìm tất cả bộ số nguyên (a;b;c;d) thỏa mãn :
an=bn+cn+dn+2005
Bài 2: Trong 1 hội nghị có 41 người nam và nữ.Trong số 31 người bất kì luôn tìm được 1 đôi nam nữ quen nhau.Chứng minh rằng trong số 41 người đó luôn tìm được 12 đôi nam nữ quen nhau.
Bài 3: Cho 1 hình chữ nhất có S=1.Bên trong có 5 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và có thể nằm trên biên hình chữ nhật. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 tam giác có S=14(các tam giác có đỉnh là 3 trong 5 điểm trên).
Bài 4: Cho Ai là những tập hợp hữu hạn phần tử
|N⋃i=1Ai|=∑1≤k≤N|Ak|−∑1≤i1<i2≤N|Ai1∩Ai2|+⋯+(−1)N−1|A1∩A2∩⋯∩AN|
Trong đó |X| là số các phần tử của tập hợp X.
Bài 5: Cho đa giác lồi 2n-đỉnh: a1,...,a2n, P là một điểm nằm trong đa giác nhưng không nằm trên đường chéo nào. CMR số tam giác có các đỉnh trong a1,...,a2n chứa điểm P là một số chẵn.
Bài 6: Cho 1 từ có n âm tiết (VD: từ "đi chơi” có 2 âm tiết). Hỏi có bao nhiêu cách nói lái từ này trong 2 trường hợp :
-Mọi cách nói lái đều có thể chấp nhận.
- Có 1 số từ chỉ có thể nhận dấu sắc và dấu năng ( VD:dep, sat, gac…..).
Bài 7: Cho n-giác . Một số đường chéo của n-giác thỏa mãn 3 tính chất sau:
1) Không có 2 đường chéo nào cắt nhau (trong đoạn)
2) n-giác bị chia thành các tam giác
3) Số đường chéo xuất phát từ mỗi đỉnh đều là số chẵn ( có thể là 0 )
CMR: 3|n.
Bài 8: Một tập hợp gồm 1985 phần tử là 1985 số tự nhiên đầu tiên được chia làm 6 tập hợp.CM trong 1 tập có chứa ít nhất 3 phần tử(không nhất thiết phân biệt) thỏa mãn số lớn nhất bằng tổng 2 số còn lại.
Bài 9: Cho n là số tự nhiên, (n>2)
Xét các từ gồm n chữ n chữ B
Từ x1x2...x2n gọi là thuộcS(n) nếu có đúng 1 đoạn khởi đầu chứa lượng chữ B giống nhau
Tính:limS(n)R(n)
Bài 10:
Trong một hình chữ nhật 1999x2000 .Ở ô (i,j) ghi số 3x2 hoặc 5x2 rồi đổi dấu tất cả các số ở tất cả các ô trong hình chữ nhật.Hỏi sau một số chẵn lần thực hiện tổng các số trong bảng có thể là 1998 đuợc không?
Bài 11: Có thể phủ được hay không một bảng hình chữ nhật kích thước 5x7 bằng những hình thuớc thợ ba ô sao cho mỗi ô đều được phủ bởi một số lượng như nhau những hình thước thợ ?
Bài 12: Tìm số nguyên dương x1,x2,...,xn,a1,a2,...,an−1 với a1<a2<...<an−1 thỏa mãn x1x2...xn=1980 và xi+1980xi∀i=1,2,...,n−1
Bài 13: Chứng minh rằng không thể dùng 25 tấm domino cỡ 1x4 để phủ kín bảng vuông 10x10.
Bài 14: Đối với 1 đồ thị hữu hạn ta có thể xóa 1 cạnh tùy ý trong 1 vòng 4 cạnh tùy ý. Với đồ thị đầy đủ n đỉnh thì việc xóa cạnh có thể kết thúc sau ít nhất bao nhiêu lần?
Bài 15: Xác đinh tất cả các giá trị của m,n sao cho hinh chữ nhật m.n có thể lát khít kín bởi các hock:
**
*
***
Bài 16: Tìm hằng số C nhỏ nhất sao cho với mọi đồ thị hữu hạn G ta có
g3(G)≤c⋅f4(G)
trong đó g(G) và f(G) lần lượt là số các tứ diện, số các tam giác trong G
Bài 17: Tại 1 trường ĐH có 10001 SV, các SV tham gia các CLB, 1 SV có thể tham gia nhiều CLB, các CLB nghiên cứu các môn KH, 1CLB có thể nghiên cứu nhiều môn KH.Có k môn KH. Biết rằng:
i) mỗi cặp SV tham gia cùng nhau đúng 1 CLB
ii) không có SV nào tham gia 2 CLB nghiên cứu cùng 1 môn KH
iii) mỗi CLB có lẻ SV tham gia
iv) CLB có 2m+1 SV thì nghiên cứu đúng m môn KH
Tính k.
Bài 18: Người ta điền số vào 441 ô vuông của bảng vuông 21*21 sao cho tại mỗi hàng và mỗt cột có không quá 6 giá trị khác nhau được điền vào. Chứng minh rằng có một số xuất hiện ở ít nhất 3 hàng và ít nhất 3 cột của bảng vuông này.
Bài 19:
Câu 1)
Cho 1 điểm M không thuộc đường thẳng d. CM không tồn tại tập điểm Ai vô hạn thuộc d thỏa mãn :
-Khoảng cách AiAj∈Z
-MAi∈Z
Câu 2)
Như trên thay d bởi mặt phẳng (P).
Bài 20: Cho đường gâp khúc khép kín n đoạn thẳng:
Tìm n để đường gâp khúc tự căt mỗi đoạn thẳng của mình tại k điểm (k cho trước)
Với mỗi k và n ,tìm số giao điểm.
Bài 21: Tìm k để tồn tại đường gâp khúc khép kín n cạnh , tự cắt nhau k lân` (với n cho trước)
Bài 22: Với m là số nguyên dương,cho s(m) là tổng các chữ số của m.Với f(n) là số k nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập S gồm n số nguyên dương thỏa mãn X của S.Chứng minh rằng tồn tại các hằng số dương 0<C1<C2 với C1lg(n)≤f(n)≤C2lg(n),∀n≥2.
Bài 23: Viết n số tự nhiên trên một đường tròn.Tìm n sao cho với mọi dãy gồm n số tự nhiên ta luôn tìm được hai số cạnh nhau sao cho sau khi xoá chúng đi các số còn lại có thể chia thành hai tập hợp có tổng các phần tử bằng nhau.
Bài 24: Cho bảng vuông 2n⋅2n(n∈N,n≥2) . Ta điền 2n2 số tự nhiên từ 1→2n2 vào bảng, mỗi số lặp lại hai lần.
Chứng minh rằng tồn tại một cách chọn 2n2 số tự nhiên từ 1→2n2 ,mỗi số một lần sao cho trên mỗi hàng và mỗi cột luôn có ít nhất 1 số được chọn.
Bài 25: Giả sử rằng có 18 ngọn hải đăng trên vịnh BaTư ,mỗi ngọn trong chúng có thể chiếu sáng được một góc 200.Chứng minh rằng có thể chọn hướng chiếu sáng của chúng sao cho toàn mặt vịnh BaTư được chiếu sáng.
Bài 26: Giả sử có n điểm phân biệt trên mặt phẳng. Có vòng tròn với bán kính r và tâm O trên mặt phẳng. Ít nhất một trong các điểm nằm trong vòng tròn. Chúng ta làm các hướng dẫn sau đây. Tại mỗi bước chúng ta di chuyển O đến trọng tâm của các điểm trong vòng tròn. Chứng minh rằng vị trí của O là không đổi sau khi một số hữu hạn bước.
Bài 27: Cho k là số nguyên dương và Sn={1,2,...,n},(n≥3). Hàm f:Skn→Sk thỏa mãn: nếu a,b∈Skn và chúng khác nhau ở tất cả các vị trí thì f(a)≠f(b). Chứng minh rằng có i∈{1,2,...,k} sao cho:
f(a1,a2,...,ak)=ai,∀a=(a1,a2,...,ak)∈Skn.
Bài 28: Cho (O) bán kính 1,và F là hình lồi đóng nằm trong C(Nghĩa là:Nếu P,Q là các điểm của F thì đoạn thẳng PQ nằm trong F;tất cả các điểm biên của F nằm trong F;tất cả các điểm của F nằm trong đường tròn C.).Hơn nữa giả sử rằng từ mỗi điểm của C có thể vẽ được hai tia tiếp tuyến của F mà góc giữa chúng bằng 600.Chứng minh rằng F là hình tròn bán kính 12.
Bài 29: Cho 100 điểm là đỉnh của đa giác đều 100 cạnh nội tiếp đường tròn. Lấy trong đó ra 20 điểm, 10 điểm tô màu đỏ, 10 điểm tô màu xanh. Chứng minh rằng tồn tại 2 cặp điểm có độ dài bằng nhau, 1 cặp cùng màu đỏ, 1 cặp cùng màu xanh.
Bài 30: Cho n số d1,d2,...,dn.
Tìm điều kiện cần và đủ để các số này là bậc của 1 đồ thị
a)n đỉnh
b)có giả thuyết a và là Đồ thị liên thông.
c)có giả thuyết a và có đường đi khép kín đến các đỉnh.
Bài 1:
Vì \(n\in [2000,60000]\) nên \(41\leq a_n=\sqrt[3]{54756+5n}\leq 70\)
Xét \(a_n^3=54756+5n\equiv 1\pmod 5\Leftrightarrow (a_n-1)(a_n^2+a_n+1)\equiv 0\pmod 5\)
Ta có \(4(a_n^2+a_n+1)=(2a_n+1)^2+3\). Vì scp chia $5$ luôn dư $0,1,4$ nên hiển nhiên \(4(a_n^2+a_n+1)\) không chia hết cho $5$, hay \(a_n^2+a_n+1\) không chia hết cho $5$
Do đó \(a_n-1\vdots 5\), hay $a_n$ chia $5$ dư $1$
Kết hợp với \(a_n\in[41,70]\) ta dễ dàng giới hạn được giá trị của $a_n$
\(a_n\in \left \{ 41,46,51,56,61,66 \right \}\) \(\Rightarrow n\in \left \{ 2833,8516,15579,24172,34445,46548 \right \}\)
Bài 2:
Để cho gọn, đặt \(a=\sqrt{20,16}\)
Tính toán đơn giản \(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=a^2-\frac{a^2}{4}\Rightarrow AH=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)
\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AH.BC}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)
Hình được tô trắng gọi là hình viên phân. Gọi giao điểm ba đường cao của tam giác là $I$. Lấy điểm \(O\) sao cho \(\triangle OAI\) là tam giác đều. Ta có \(OAI\) chính là hình quạt cùa hình tròn tâm $O$ bán kính \(\frac{2AH}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}a\)
Do đó diện tích nửa hình viên phân là:
\(\frac{1}{2}S_{\text{vp}}=\frac{1}{6}S_{(O)}-S_{OAI}=\frac{\pi R^2}{6}-\frac{\sqrt{3}a^2}{12}=\frac{\pi a^2}{18}-\frac{\sqrt{3}a^2}{12}\)
\(\Rightarrow 3S_{\text{vp}}=\frac{\pi a^2}{6}-\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\)
\(\Rightarrow S_{\text{cần tìm}}=S_{ABC}-3S_{\text{vp}}=\frac{\sqrt{3}a^2}{4}-\frac{\pi a^2}{6}+\frac{\sqrt{3}a^2}{4}\)
\(\Rightarrow S_{\text{cần tìm}}\approx 6,9\) (đvdt)