Câu hỏi của Cẩm Bình 2006

Question

1. Tìm a thuộc Z để a-3 chia hết cho a2+2

2. Tìm x,y nguyên tố để x2_2y=1

3. Cho p, p+d, p+2d là các số nguyên tố . Chứng minh rằng d chia hết cho 6

4. Cho 2^n+1 là hợp số. Chứng minh rằng 2^n-1 là...

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

1. Giả sử $a-3⋮a^2+2\Rightarrow\dfrac{a-3}{a^2+2}=A$ $\left(A\in Z;A\ne0\right)$

$\Rightarrow a-3=A.a^2+2A\Rightarrow A.a^2-a+2A+3=0$

$\Delta=1-4A\left(2A+3\right)\ge0\Rightarrow-8A^2-12A+1\ge0$

$\Rightarrow\dfrac{-3-\sqrt{11}}{4}\le A\le\dfrac{-3+\sqrt{11}}{4}$

Mà A nguyên $\Rightarrow A=0$ hoặc $A=-1$

$A=0\Rightarrow a-3=0\Rightarrow a=3$

$A=-1\Rightarrow-a^2-a+1=0$ $\Rightarrow$ pt ko có nghiệm nguyên

Vậy a=0 thì a-3 chia hết $a^2+2$

2. $x^2-2y=1\Rightarrow2y=x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$

Nếu x chẵn $\Rightarrow x=2\Rightarrow$ y không phải số tự nhiên (loại)

Nếu x lẻ $\Rightarrow x-1$ và $x+1$ đều là số chẵn $\Rightarrow\left(x-1\right)\left(x+1\right)⋮4$

Đặt $\left(x-1\right)\left(x+1\right)=4k$ với $k\in N;k\ge1$

$\Rightarrow2y=4k\Rightarrow y=2k$

Nếu $k=1\Rightarrow y=2\Rightarrow x^2=2y+1=5$ $\Rightarrow$ x không phải số tự nhiên (loại)

Nếu $k>1$ $\Rightarrow$ y là số chẵn lớn hơn 2 $\Rightarrow$ y không phải là số nguyên tố

$\Rightarrow$Không tồn tại cặp số nguyên tố (x;y) nào để $x^2-2y=1$

3. Nếu d=0 =>d chia hết cho 6. Xét d>0, d là STN

Ta luôn có $p>2$ do nếu $p=2\Rightarrow p+2d=2\left(d+1\right)$ là hợp số, vô lý

$\Rightarrow$ p là số lẻ $\Rightarrow d$ là số chẵn (vì nếu d lẻ thì p+d chẵn là hợp số) $\Rightarrow d⋮2$

TH1: $p=3a+1$

Nếu $d=3b+1\Rightarrow p+2d=3a+1+6b+2=3\left(a+2b+1\right)⋮3$

$\Rightarrow$ vô lý (do giả thiết p+2d là số nguyên tố)

Nếu $d=3b+2\Rightarrow p+d=3a+1+3b+2=3\left(a+b+1\right)⋮3$ vô lý

Vậy $d=3b\Rightarrow d⋮3\Rightarrow d⋮6$

TH2: $p=3a+2$

Nếu $d=3b+1\Rightarrow p+d=3a+2+3b+1=3\left(a+b+1\right)⋮3$ (loại)

Nếu $d=3b+2\Rightarrow p+2d=3a+2+6b+4=3\left(a+2b+2\right)⋮3$ (loại)

Vậy $d=3b⋮3\Rightarrow d⋮6$

Kết luận: nếu p, p+d, p+2d là số nguyên tố thì d chia hết cho 6

4. Đề sai. Ta lấy ví dụ n=3 $\Rightarrow2^3+1=9$ là hợp số, nhưng $2^3-1=7$ là số nguyên tố

Hoặc $n=5...$Câu trả lời: 1. Giả sử $a-3⋮a^2+2\Rightarrow\dfrac{a-3}{a^2+2}=A$ $\left(A\in Z;A\ne0\right)$