Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Vì đa thức (x−a)(x−10)+1(x−a)(x−10)+1 có thể phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất có hệ số nguyên nên ta chỉ có hai cách phân tích duy nhất là:
1)(x−a)(x−10)=(x+b)(x+c)2)(x−a)(x−10)=(−x+b)(−x+c)1)(x−a)(x−10)=(x+b)(x+c)2)(x−a)(x−10)=(−x+b)(−x+c) với b,c∈Zb,c∈Z
Ta sẽ tìm aa trong trường hợp 1)1), trường hợp còn lại làm tương tự
(x−a)(x−10)+1=(x−b)(x−c)⇔x2−(a+10)x+10a+1=x2+(b+c)x+bc(x−a)(x−10)+1=(x−b)(x−c)⇔x2−(a+10)x+10a+1=x2+(b+c)x+bc
Đồng nhất, ta được {b+c=−(a+10)bc=10a+1{b+c=−(a+10)bc=10a+1
⇒b,c⇒b,c là hai nghiệm nguyên của PT X2+(a+10)X+10a+1=0X2+(a+10)X+10a+1=0 với aa nguyên
⇒Δ=(a+10)2−40a−4=m2(m∈N)⇔(a−10)2−4=m2⇔(a−m−10)(a+m−10)=4⇒Δ=(a+10)2−40a−4=m2(m∈N)⇔(a−10)2−4=m2⇔(a−m−10)(a+m−10)=4
Vì a−m−10a−m−10 và a+m−10a+m−10 cùng tính chẵn lẻ và a+m−10≥a−m−10a+m−10≥a−m−10 nên:
{a+m−10=2a−m−10=2⇒a=12{a+m−10=2a−m−10=2⇒a=12
Hoặc :
{a+m−10=−2a−m−10=−2⇒a=8
\(x^2-\left(a+10\right)x+10a+1=0\)
\(\Delta=a^2+20a+100-40a-4=\left(a-10\right)^2-4=\left(a-6\right)\left(a-14\right)\)
a thuộc Z => \(\Delta\) là số nguyên ; để TM yêu cầu => \(\Delta\) là số chính phương
=> a =6 ; a =14
Đặt \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)\left(x-10\right)+1=x^2-\left(a+10\right)x+10a+1\).
Theo đề bài, ta đặt \(f\left(x\right)=\left(x-m\right)\left(x-n\right)\) với \(m,n\inℤ\).
\(f\left(x\right)=x^2-\left(m+n\right)x+mn\)
Khi đó, ta thu được hệ pt:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+n=a+10\\mn=10a+1\end{matrix}\right.\)
Ta thấy nếu \(\left(a+10\right)^2-4\left(10a+1\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-12\right)\left(a-8\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow8< a< 12\)
thì sẽ không tồn tại \(m,n\) thỏa mãn. Vậy \(\left[{}\begin{matrix}a\le8\\a\ge12\end{matrix}\right.\)
Khi đó \(m,n\) là nghiệm nguyên của pt \(X^2-\left(a+10\right)X+10a+1=0\) (*)
Pt này có \(\Delta=\left(a+10\right)^2-4\left(10a+1\right)\) \(=\left(a-10\right)^2-4\) mà (*) lại có 2 nghiệm nguyên nên \(\left(a-10\right)^2-4\) phải là số chính phương.
Đặt \(\left(a-10\right)^2-4=k^2\) (với \(k\inℕ\))
\(\Leftrightarrow\left(a-10\right)^2-k^2=4\)
\(\Leftrightarrow\left(a-10-k\right)\left(a-10+k\right)=4\)
Vì \(a-10-k\le a-10+k\) nên ta xét các TH sau:
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10+k=2\\a-10-k=2\end{matrix}\right.\), khi đó \(k=0\) và \(a=12\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^2-22x+121=\left(x-11\right)^2\) thỏa ycbt.
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=1\\a-10+k=4\end{matrix}\right.\Rightarrow2k=3\), vô lí.
TH3: \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=-2\\a-10+k=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}k=0\\a=8\end{matrix}\right.\).
Thử lại, ta có \(f\left(x\right)=x^2-18x+81=\left(x-9\right)^2\) thỏa ycbt.
TH4; \(\left\{{}\begin{matrix}a-10-k=-4\\a-10+k=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow2k=3\), vô lí.
Vậy \(a\in\left\{8;12\right\}\) thỏa ycbt.
Đặt \(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\left(a\inℤ^+\right)\)
\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)
\(f\left(3\right)=27a+9b+3c+d\)
\(\Rightarrow f\left(5\right)-f\left(3\right)=98a+16b+2c\)
Mà \(f\left(5\right)-f\left(3\right)=2022\) nên \(98a+16b+2c=2022\)
\(\Leftrightarrow49a+8b+c=1011\)
Lại có \(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)
\(f\left(1\right)=a+b+c+d\)
\(\Rightarrow f\left(7\right)-f\left(1\right)=342a+48b+6c\) \(=6\left(57a+8b+c\right)\) \(=6\left(8a+1011\right)\) (vì \(49a+8b+c=1011\))
Mà do \(a\inℤ^+\) nên \(f\left(7\right)-f\left(1\right)\) là hợp số (đpcm)
Ta đi phản chứng, giả sử P(x) có thể phân tích được thành tích hai đa thức hệ số nguyên bậc lớn hơn 1.
đặt \(P\left(x\right)=Q\left(x\right).H\left(x\right)\)với bậc của Q(x) và H(x) lớn hơn 1
Ta Thấy \(Q\left(i\right).H\left(i\right)=P\left(i\right)=-1\)với i=1,2,...2020.
suy ra \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=1\\H\left(i\right)=-1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}Q\left(i\right)=-1\\H\left(i\right)=1\end{cases}}\) suy ra \(Q\left(i\right)+H\left(i\right)=0\)với i=1,2,...,2020
mà bậc của Q(x) và H(x) không vượt quá 2019 suy ra \(Q\left(x\right)+H\left(x\right)=0\Rightarrow Q\left(x\right)=-H\left(x\right)\Rightarrow P\left(x\right)=-\left(Q\left(x\right)\right)^2\)
xét hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(P\left(x\right)\) bằng 1
hệ số đơn thức bậc cao nhất của \(-\left(Q\left(x\right)\right)^2\) bằng -1. Suy ra vô lý.
Vậy P(x) không thể phân tích thành hai đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn 1.
\(B=x^4-6x^3+11x^2-6x+1\)
\(=x^4-x^3+x^2-5x^3+5x^2-5x+x^2-x+1\)
\(=x^2\left(x^2-x+1\right)-5x\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)\)
\(=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2-5x+1\right)\)
\(2,\\ PT\Leftrightarrow6x^2+9y^2-\left(x^2+y^2\right)=20412\\ \text{Mà }20412⋮3;6x^2+9y^2⋮3\\ \Leftrightarrow x^2+y^2⋮3\Leftrightarrow x^2⋮3;y^2⋮3\Leftrightarrow x⋮3;y⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=3a\\y=3b\end{matrix}\right.\left(a,b\in Z\right)\Leftrightarrow5\left(3a\right)^2+8\left(3b\right)^2=20412\)
\(\Leftrightarrow9\left(5a^2+8b^2\right)=20412\\ \Leftrightarrow5a^2+8b^2=2268\)
Mà \(2268⋮3\Leftrightarrow5a^2+8b^2⋮3\Leftrightarrow a^2⋮3;b^2⋮3\Leftrightarrow a⋮3;b⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=3c\\b=3d\end{matrix}\right.\left(c,d\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5c^2+8d^2\right)=2268\Leftrightarrow5c^2+8d^2=252\)
Mà \(252⋮3\Leftrightarrow5c^2+8d^2⋮3\Leftrightarrow c^2⋮3;d^2⋮3\Leftrightarrow c⋮3;d⋮3\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}c=3k\\d=3q\end{matrix}\right.\left(k,q\in Z\right)\Leftrightarrow9\left(5k^2+8q^2\right)=252\Leftrightarrow5k^2+8q^2=28\)
\(\Leftrightarrow5k^2=28-8q^2\ge0\Leftrightarrow q^2\le\dfrac{28}{8}=3,5\\ \text{Mà }q\in Z\\ \Leftrightarrow-3\le q^2\le3\Leftrightarrow-1\le q\le1\)
\(\forall q=0\Leftrightarrow k^2=\dfrac{28}{5}\left(ktm\right)\\ \forall q=\pm1\Leftrightarrow k=\pm2\\ \Leftrightarrow\left(c;d\right)=\left(6;3\right);\left(-6;-3\right);\left(-6;3\right);\left(6;-3\right)\\ \Leftrightarrow\left(a;b\right)=\left(18;9\right)\left(-18;-9\right);\left(-18;9\right);\left(18;-9\right)\\ \Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(54;27\right);\left(-54;-27\right);\left(54;-27\right);\left(-54;27\right)\)
X4 hay x4 ?
\(C=x^4-x^3+2x^2-11x-5\)
\(=\left(x^4+x^3+5x^2\right)-\left(2x^3+2x^2+10x\right)-\left(x^2+x+5\right)\)
\(=x^2\left(x^2+x+5\right)-2x\left(x^2+x+5\right)-\left(x^2+x+5\right)\)
\(=\left(x^2-2x-1\right)\left(x^2+x+5\right)\)