Question

[bach nhac lam]

1. giải pt và hpt : a) \(3x-16y-24=\sqrt{9x^2+16x+32}\) (\(x,y\in N\)*)

b) \(4x^3+5x^2+1=\sqrt{3x+1}-3x\)

c) \(\left\{{}\begin{matrix}y^2\sqrt{2x-1}+\sqrt{3}=5y^2-\sqrt{6x-3}\\2y^4\left(5x^2-17x+6\right)=6-15x\end{matrix}\right.\)

2. \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c\ge1\\32abc=18\left(a+b+c\right)+24\end{matrix}\right.\) Tìm Max \(P=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{\sqrt{c^2-1}}{c}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1a:

Ta thấy vế trái là số tự nhiên với mọi $x,y\in\mathbb{N}^*$. Do đó $\sqrt{9x^2+16x+32}\in\mathbb{N}^*$

Điều này xảy ra khi \(9x^2+16x+32\) là số chính phương.

Đặt \(9x^2+16x+32=t^2(t\in\mathbb{N}^*)\)

\(\Leftrightarrow 81x^2+144x+288=9t^2\)

\(\Leftrightarrow (9x+8)^2+224=(3t)^2\Leftrightarrow (3t-9x-8)(3t+9x+8)=224\)

Hiển nhiên $3t+9x+8>0; 3t+9x+8>3t-9x-8$ với mọi $x,t\in\mathbb{N}^*$ và $3t+9x+8; 3t-9x-8$ cùng tính chẵn lẻ.

Do đó \((3t+9x+8; 3t-9x-8)=(16;14); (28;8); (56;4); (112;2)\)

Thử các TH trên ta thu được $x=2$ là kết quả duy nhất thỏa mãn

Thay vào PT ban đầu suy ra $y=\frac{-7}{4}$ (vô lý)

Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn.

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 1b:

ĐKXĐ: \(x\geq \frac{-1}{3}\)

PT \(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x+1-\sqrt{3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow 4x^3+5x^2+3x-\frac{3x}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}\right)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=0\\ 4x^2+5x+3-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0(*)\end{matrix}\right.\)

Xét $(*)$

\(\Leftrightarrow 4x^2+x+4x+1+2-\frac{3}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow x(4x+1)+(4x+1)+\frac{2\sqrt{3x+1}-1}{\sqrt{3x+1}+1}=0\)

\(\Leftrightarrow (4x+1)(x+1)+\frac{3(4x+1)}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}=0\)

\(\Leftrightarrow (4x+1)\left[(x+1)+\frac{3}{(\sqrt{3x+1}+1)(2\sqrt{3x+1}+1)}\right]=0\)

Với mọi $x\geq \frac{-1}{3}$ dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông luôn dương. Do đó $4x+1=0\Rightarrow x=\frac{-1}{4}$ (thử lại thấy t/m)

Vậy \(x=0\) hoặc \(x=-\frac{1}{4}\)