Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
7. \(S=9y^2-12\left(x+4\right)y+\left(5x^2+24x+2016\right)\)
\(=9y^2-12\left(x+4\right)y+4\left(x+4\right)^2+\left(x^2+8x+16\right)+1936\)
\(=\left[3y-2\left(x+4\right)\right]^2+\left(x-4\right)^2+1936\ge1936\)
Vậy \(S_{min}=1936\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}3y-2\left(x+4\right)=0\\x-4=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{16}{3}\end{cases}}\)
8. \(x^2-5x+14-4\sqrt{x+1}=0\) (ĐK: x > = -1).
\(\Leftrightarrow\) \(\left(x+1\right)-4\sqrt{x+1}+4+\left(x^2-6x+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2+\left(x-3\right)^2=0\)
Với mọi x thực ta luôn có: \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2\ge0\) và \(\left(x-3\right)^2\ge0\)
Suy ra \(\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2+\left(x-3\right)^2\ge0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{x+1}-2\right)^2=0\\\left(x-3\right)^2=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) x = 3 (Nhận)
7. \(S=9y^2-12\left(x+4\right)y+\left(5x^2+24x+2016\right)\)
\(=9y^2-12\left(x+4\right)y+4\left(x+4\right)^2+\left(x^2+8x+16\right)+1936\)
\(=\left[3y-2\left(x+4\right)\right]^2+\left(x-4\right)^2+1936\ge1936\)
Vậy \(S_{min}=1936\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}3y-2\left(x+4\right)=0\\x-4=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{16}{3}\end{cases}}\)
Bài 3 \(\hept{\begin{cases}x+y+xy=2+3\sqrt{2}\\x^2+y^2=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}\left(x+y\right)+xy=2+3\sqrt{2}\\\left(x+y\right)^2-2xy=6\end{cases}}\)
\(\hept{\begin{cases}S+P=2+3\sqrt{2}\left(1\right)\\S^2-2P=6\left(2\right)\end{cases}}\)
Từ (1)\(\Rightarrow P=2+3\sqrt{2}-S\)Thế P vào (2) rồi giải tiếp nhé. Mình lười lắm ^.^
c) Có \(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=-1+\frac{x^2+ax+b+1}{x^2+1}\);
\(P=\frac{ax+b}{x^2+1}=4-\frac{4x^2-ax-b+4}{x^2+1}\)
Để Min P = 1 và Max P = 4 thì
\(\hept{\begin{cases}x^2+ax+b+1=\left(x+c\right)^2\\4x^2-ax-b+4=\left(2x+d\right)^2\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\left(a-2c\right)+\left(b+1-c^2\right)=0\left(1\right)\\x\left(-a-4d\right)+\left(-b+4-d^2\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)
(1) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=2c\\b=c^2-1\end{cases}}\)(3)
(2) = 0 khi \(\hept{\begin{cases}a=-4d\\b=4-d^2\end{cases}}\)(4)
Từ (3) (4) => d = 1 ; c = -2 ; b = 3 ; a = -4
Vậy \(P=\frac{-4x+3}{x^2+1}\)
ĐK \(x\ge y\)
Đặt \(\sqrt{x+y}=a;\sqrt{x-y}=b\left(a;b\ge0\right)\)
HPT <=> \(\hept{\begin{cases}a^4+b^4=82\\a-2b=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2b+1\right)^4+b^4=82\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4+32b^3+24b^2+8b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}17b^4-17b^3+49^3-49b^2+73b^2-73b+81b-81=0\\a=2b+1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(b-1\right)\left(17b^3+49b^2+73b+81\right)=0\left(1\right)\\a=2b+1\end{cases}}\)
Giải (1) ; kết hợp điều kiện => b = 1
=> Hệ lúc đó trở thành \(\hept{\begin{cases}b=1\\a=2b+1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b=1\\a=3\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y}=3\\\sqrt{x-y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=9\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=10\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\x-y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=4\end{cases}}\)
Vậy hệ có 1 nghiệm duy nhất (x;y) = (5;4)
bài 2
ta có \(\left(\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\right)^2\)
\(=\left(\sqrt{a}.\sqrt{\frac{8a^2+1}{a}}+\sqrt{b}.\sqrt{\frac{8b^2+1}{b}}+\sqrt{c}.\sqrt{\frac{8c^2+1}{c}}\right)^2\)\(=\left(A\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có;
\(\left(A\right)\le\left(a+b+c\right)\left(8a+\frac{1}{a}+8b+\frac{1}{b}+8c+\frac{8}{c}\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(9a+9b+9c\right)=9\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\ge\sqrt{8a^2+1}+\sqrt{8b^2+1}+\sqrt{8c^2+1}\)(đpcm)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Bài 3: \(3\left(\sqrt{2x^2+1}-1\right)=x\left(1+3x+8\sqrt{2x^2+1}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(3-8x\right)\sqrt{2x^2+1}=3x^2+x+3\)
\(\Rightarrow\left(3-8x\right)^2\left(2x^2+1\right)=\left(3x^2+x+3\right)^2\)
\(\Leftrightarrow119x^4-102x^3+63x^2-54x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(7x-6\right)\left(17x^2+9\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=\frac{6}{7}\end{cases}}\)
Thử lại, ta nhận được \(x=0\)là nghiệm duy nhất của phương trình
Câu 1:ĐkXĐ \(x\ge-\frac{1}{4}\)
\(\left(2\sqrt{x+2}-\sqrt{4x+1}\right)\left(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}\right)=7\)(theo đề ở dưới)
Nhân liên hợp ta có
\(\left(4\left(x+2\right)-4x-1\right)\left(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}\right)=7\left(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\right)\)<=>\(2x+3+\sqrt{4x^2+9x+2}=2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}\)(1)
Đặt \(2\sqrt{x+2}+\sqrt{4x+1}=t\left(t\ge0\right)\)
=> \(t^2=8x+9+4\sqrt{4x^2+9x+2}\)
=> \(\frac{t^2-8x-9}{4}=\sqrt{4x^2+9x+2}\)
Khi đó (1)
<=> \(2x+3+\frac{t^2-8x-9}{4}=t\)
<=> \(\frac{3}{4}+\frac{t^2}{4}=t\)
=> \(\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=3\end{matrix}\right.\)(tm)
+ \(t=1\) => \(\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x-2\)
Mà \(x\ge-\frac{1}{4}\)
=> pt vô nghiệm
+ t=3 => \(\sqrt{4x^2+9x+2}=-2x\)
=> \(\left\{{}\begin{matrix}x\le0\\9x+2=0\end{matrix}\right.\)
=> \(x=-\frac{2}{9}\)(tmĐKXĐ)
Vậy x=-2/9
Câu 3:
\(\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ac}=\frac{1}{a+b}\)
<=> \(\frac{\left(a+b\right)\left(c+1\right)}{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}=\frac{1}{a+b}\)
<=> \(\left(a+b\right)^2\left(c+1\right)=ab\left(c^2+1\right)+c\left(a^2+b^2\right)\)
<=> \(2abc+a^2+b^2+ab=abc^2\)
<=> \(\left(a^2+b^2+2ba\right)=ab\left(c^2-2c+1\right)\)
<=> \(\left(a+b\right)^2=ab\left(c-1\right)^2\)
=> ab>0 , ab là bình phương của số hữu tỉ
=> \(c-1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}\)
=> \(c+1=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+2=\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}{\sqrt{ab}}\)
Khi đó
\(\frac{c-3}{c+1}=1-\frac{4}{c+1}=1-\frac{4\sqrt{ab}}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}\)
Mà \(\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a-b}=\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{a-b}\)là số hữu tỉ do ab là bình phương của số hữu tỉ
=> \(\frac{c-3}{c+1}\)là bình phương của số hữu tỉ(ĐPCM)
Bài 2:
Theo đề ta có: \(a,b>0\left(1\right)\)
Giả sử: \(a^2+b^2\ge1\left(2\right)\)
Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow a^3+b^3\le\left(a-b\right)\left(a^2+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\le a^3+ab^2-a^2b-b^3\)
\(\Leftrightarrow ab^2-a^2b-2b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow b\left(ab-a^2-2b^2\right)\ge0\)
Vì: \(a>b>0\Rightarrow a\left(b-a\right)< 0\)
\(\Rightarrow a\left(b-a\right)-2b^3< 0\)
Từ trên suy ra BĐT trên không thể xảy ra.
\(\RightarrowĐpcm\)
Bài 1:
\(x^2+2x+3-\left(2x+1\right)\sqrt{x^2+2x+3}+4x-2=0\)
Đặt \(\sqrt{x^2+2x+3}=a>0\)
\(\Leftrightarrow a^2-\left(2x+1\right)a+4x-2=0\)
\(\Delta=\left(2x+1\right)^2-4\left(4x-2\right)=4x^2-12x+9=\left(2x-3\right)^2\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=\frac{2x+1-\left(2x-3\right)}{2}=2\\a=\frac{2x+1+2x-3}{2}=2x-1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+2x+3}=2\\\sqrt{x^2+2x+3}=2x-1\left(x\ge\frac{1}{2}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2+2x+3=4\\x^2+2x+3=4x^2-4x+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow...\)