Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\\ \Leftrightarrow xy+yz+xz=0\\ \Leftrightarrow\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\)
Đặt
\(\dfrac{1}{x}=a;\dfrac{1}{y}=b;\dfrac{1}{z}=c\\ vìa+b+c=0\\ \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\\ \Rightarrow\left(\dfrac{1}{x}\right)^3+\left(\dfrac{1}{y}\right)^3+\left(\dfrac{1}{z}\right)^3=\dfrac{3}{xyz}\)
a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)+3abc. Cm cái này r ms đc áp dụng
Ta chứng minh đẳng thức sau :
Nếu a + b + c = 0 ⇒ a3 + b3 + c3 = 3abc
Ta có : a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c
⇒ (a + b)3 = (-c)3 ⇒ a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = -c3
⇒ a3 + b3 + c3 = -3a2b - 3ab2 ⇒ a3 + b3 + c3 = -3ab(a + b)
Thay a + b = -c vào -3ab(a + b) ta được:
-3ab(a + b) = -3ab.(-c)= 3abc
Vậy nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc.
Quay trở lại với bài toán, ta có:
x + y + z = -3 ⇒ x + 1 + y + 1 + z + 1 = -3 + 1 + 1 + 1
⇒ ( x + 1) + (y + 1) + (z + 1) = 0
Áp dụng đẳng thức nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc vào bài toán, ta có :
(x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1 ) = 0
⇒ ( x + 1 )3 + (y + 1 )3 + ( z + 1 )3 = 3(x + 1)(y + 1)(z + 1)
⇒ Nếu x + y + z = -3 thì :
(x + 1)3 + ( y + 1 )3 + ( z + 1 )3 = 3(x + 1)( y + 1 )(z + 1)
Lời giải:
Đặt \(\left\{\begin{matrix} x+1=a\\ y+1=b\\ z+1=c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a+b+c=x+y+z+3=0\)
Ta cần chứng minh:
\(a^3+b^3+c^3=3abc\)
Thật vậy, theo khai triển hằng đẳng thức:
\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
\(=0-3(a+b)(b+c)(c+a)\)
Vì \(a+b+c=0\Rightarrow a+b=-c; b+c=-a; c+a=-b\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3=0-3(-c)(-a)(-b)=0-(-3abc)=3abc\)
Do đó ta có đpcm.
tại sao a+ b+ c= x+ y+ z+ 3= 0 vậy