Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
bạn đăng vừa thôi nhé chứ đăng nhiều thế này ít người khiên trì giải hết lắm bạn nên đăng từng bài cho đỡ dài
a)\(4x^4+y^4=\left(4x^4+y^4+4x^2y^2\right)-4x^2y^2\)
\(=\left(2x^2+y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(2x^2+y^2-2xy\right)\left(2x^2+y^2+2xy\right)\)
b)\(\left(x^2-3x-1\right)^2-12\left(x^2-3x-1\right)+27\)
Đặt x^2 - 3x - 1 = A
\(\Rightarrow A^2-12A+27=\left(A^2-12A+36\right)-9\)
\(=\left(A-6\right)^2-9=\left(A-6-3\right)\left(A-6+3\right)\)
\(=\left(A-9\right)\left(A-3\right)\)
Hay \(=\left(x^2-3x-1-9\right)\left(x^2-3x-1-3\right)\)
\(=\left(x^2-3x-10\right)\left(x^2-3x-4\right)\)
\(=\left(x-5\right)\left(x+2\right)\left(x-4\right)\left(x+1\right)\)
c)\(x^3-x^2-5x+125\)
\(=\left(x^3+5^3\right)-\left(x^2+5x\right)\)
\(=\left(x+5\right)\left(x^2-5x+25\right)-x\left(x+5\right)\)
\(=\left(x+5\right)\left(x^2-5x+25-x\right)\)
\(=\left(x+5\right)\left(x^2-6x+25\right)\)
d)\(xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)+2xyz\)
\(=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)\)
Mình có việc bận nên chỉ đưa được kết quả ý d) thật lòng mong các bạn tự tham khảo và giải
\(M=\dfrac{yz\sqrt{x-1}+xz\sqrt{y-2}+xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{yz\sqrt{x-1}}{xyz}+\dfrac{xz\sqrt{y-2}}{xyz}+\dfrac{xy\sqrt{z-3}}{xyz}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}+\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}+\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{x-1}\le\dfrac{1+x-1}{2}=\dfrac{x}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{x-1}}{x}\le\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}\)
\(\sqrt{y-2}=\dfrac{\sqrt{2\left(y-2\right)}}{\sqrt{2}}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\le\dfrac{y}{2\sqrt{2}}\cdot\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\sqrt{z-3}=\dfrac{\sqrt{3\left(z-3\right)}}{\sqrt{3}}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\)\(\Rightarrow\dfrac{\sqrt{z-3}}{z}\le\dfrac{z}{2\sqrt{3}}\cdot\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(M\le\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)\) (ĐPCM)
Ta có : \(\frac{x}{a}=\frac{y}{b}=\frac{z}{c}==\frac{x+y+z}{a+b+c}=\frac{x+y+z}{1}\)
\(\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{1}\)
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\)
\(\Rightarrow2\left(xy+yz+zx\right)=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(C=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{xz+yz}=\dfrac{4}{xz+yz}\)
Từ \(x+y+z=3\Rightarrow x+y=3-z\)
\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{xz+yz}=\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}=\dfrac{4}{z\left(3-z\right)}=\dfrac{4}{-z^2+3z}\)
Lại có: \(-z^2+3z=\dfrac{9}{4}-\left(z-\dfrac{3}{2}\right)^2\le\dfrac{9}{4}\)
\(\Rightarrow C\ge\dfrac{4}{-z^2+3z}\ge\dfrac{4}{\dfrac{9}{4}}=\dfrac{16}{9}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=\dfrac{3}{4};z=\dfrac{3}{2}\)
Bài 2:
Từ \(5x^2-5xy+y^2+\dfrac{4}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(x^2+\dfrac{4}{x^2}-4\right)+4=xy\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+\left(x-\dfrac{2}{x}\right)^2+4\ge xy\)
Dễ thấy: \(VT\ge4\forall x;y\)\(\Rightarrow VP\ge4\forall x;y\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\sqrt{2};2\sqrt{2}\right);\left(-\sqrt{2};-2\sqrt{2}\right)\)
Bài 3:
Từ \(a^2+b^2=4a+2b+540\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-4a+4\right)+\left(b^2-2b+1\right)=545\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\right)^2+\left(b-1\right)^2=545\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left (P-2063 \right )^2=\left [23(a-2)+4(b-1) \right ]^2\)
\(\leq (23^2+4^2)\left [ (a-2)^2+(b-1)^2 \right ]\)
\(\Rightarrow P\le545+2063=2608\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=25;b=5\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
<=> \(\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)
<=> \(\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)
<=> yz + xz + xy = 0
=> (yz)3 + (xz)3 + (xy)3 = 3 . (yz) . (xz) . (xy) = 3x2y2z2
\(K=\left(\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}-2\right)^{2017}=\left(\frac{\left(yz\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(xz\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(xy\right)^3}{x^2y^2z^2}-2\right)^{2017}=\left(\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}-2\right)^{2017}=\left(3-2\right)^{2017}=1^{2017}=1\)
ĐS: 1
a) A=x^3 + 3x^2*5 + 3x*5^2 + 5^3
=(x+5)^3
Thay x = -10 vào biểu thức A ta được:
A = (-10+5)^3
=(-5)^3
=-75
Làm tương tự nhé
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$x^2+1\geq 2x$
$y^2+1\geq 2y$
$z^2+1\geq 2z$
$x^2+y^2\geq 2xy$
$y^2+z^2\geq 2yz$
$z^2+x^2\geq 2xz$
Cộng các BĐT trên theo vế ta được:
$3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2(x+y+z+xy+yz+xz)$
$\Rightarrow 3(x^2+y^2+z^2)+3\geq 2.6=12$
$\Rightarrow x^2+y^2+z^2\geq 3$
Vậy $B_{\min}=3$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=1$
Bài 3:
$5x^2+5y^2-3xy+\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{9}$
$=\frac{3}{2}(x^2+y^2-2xy)+\frac{7}{2}(x^2+\frac{4}{21}x+\frac{2^2}{21^2})+\frac{7}{2}(y^2+\frac{2}{21}y+\frac{1}{21^2})+\frac{1}{14}$
$=\frac{3}{2}(x-y)^2+\frac{7}{2}(x+\frac{2}{21})^2+\frac{7}{2}(y+\frac{1}{21})^2+\frac{1}{14}\geq \frac{1}{14}$
Do đó không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề.