Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :(a+b-c)2 \(\ge\) 0
<=>a2+b2+c2 \(\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>\(\frac{5}{3}\ge\) 2(bc-ab+ac)
<=>bc+ac-ab \(\le\frac{5}{6}< 1\)
<=>\(\frac{bc+ac-ab}{abc}< \frac{1}{abc}\) (vì a,b,c>0 nên chia cả 2 vế cho abc)
<=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}< 1\) (đpcm)
THƯA CHỊ BÀI NÀY LÀ SAO AK, E HỌC LỚP 5 ** BIK BÀI NÀY NHÉ ~_~ !!!!!!!!!!!
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT=\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+2b}\ge\frac{9}{\sqrt{\left(1+2\right)\left(a^2+2b^2\right)}}\)
\(>\frac{9}{\sqrt{3\cdot3c^2}}=\frac{9}{3c}=\frac{3}{c}=VP\)
Áp dụng bđt bunhiacopski cho 3 số ta có
\(\left(a\sqrt{1-b^2}+b\sqrt{1-c^2}+c\sqrt{1-a^2}\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(1-a^2+1-b^2+1-c^2\right)\Leftrightarrow\frac{9}{4}\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left[3-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]\)(1)
Đặt \(a^2+b^2+c^2=k\)
Vậy (1)\(\Leftrightarrow\frac{9}{4}\le k\left(3-k\right)\Leftrightarrow\frac{9}{4}\le3k-k^2\Leftrightarrow k^2-3k+\frac{9}{4}\le0\Leftrightarrow\left(k-\frac{3}{2}\right)^2\le0\)
Vì \(\left(k-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\)
Suy ra \(\left(k-\frac{3}{2}\right)^2=0\Leftrightarrow k-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow k=\frac{3}{2}\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2=\frac{3}{2}\)
Với \(a^2+b^2+c^2=1\), ta có: \(\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2+ab-c^2}}\)
\(=\Sigma\sqrt{\frac{ab+2c^2}{a^2+b^2+ab}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(ab+2c^2\right)\left(a^2+b^2+ab\right)}}\)
\(\ge\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(ab+2c^2\right)+\left(a^2+b^2+ab\right)}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+2ab+2c^2}{2}}\)
\(\ge\text{}\Sigma\text{}\frac{ab+2c^2}{\frac{\left(a^2+b^2\right)+\left(a^2+b^2\right)+2c^2}{2}}=\Sigma\frac{ab+2c^2}{\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}}\)
\(=\Sigma\left(ab+2c^2\right)=2\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca\)
\(=2+ab+bc+ca\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
1/ .............. a=<b=<c=<d và a+d=b+c