Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(A=\dfrac{a}{abc+ab+a+1}+\dfrac{ba}{abcd+abc+ab+a}+\dfrac{\dfrac{c}{cd}}{\dfrac{acd}{cd}+\dfrac{cd}{cd}+\dfrac{c}{cd}+\dfrac{1}{cd}}+\dfrac{\dfrac{d}{d}}{\dfrac{dab}{d}+\dfrac{ad}{d}+\dfrac{d}{d}+\dfrac{1}{d}}\)
\(A=\dfrac{a}{abc+ab+a+1}+\dfrac{ab}{1+abc+ab+a}+\dfrac{\dfrac{1}{d}}{a+1+\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{cd}}+\dfrac{1}{ab+a+1+\dfrac{1}{d}}\)
Mà \(abcd=1\Rightarrow\dfrac{1}{d}=abc;\dfrac{1}{cd}=ab\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a}{abc+ab+a+a}+\dfrac{ab}{abc+ab+a+1}+\dfrac{abc}{a+1+abc+ab}+\dfrac{1}{ab+a+1+abc}\)
\(\Rightarrow A=\dfrac{a+ab+abc+1}{abc+ab+a+1}=1\)
a: Xet ΔBHK vuông tại K và ΔCHN vuông tại N có
góc BHK=góc CHN
=>ΔBHK đồng dạng vơi ΔCHN
b: ΔBHK đồng dạngb vơi ΔCHN
=>HB/HC=HK/HN
=>HB/HK=HC/HN
=>ΔHBC đồng dạng với ΔHKN
c: Xét ΔBMH vuông tại M và ΔBNC vuông tại N có
góc MBH chung
=>ΔBMH đồng dạng vơi ΔBNC
=>BM/BN=BH/BC
=>BH*BN=BM*BC
Xét ΔCHM vuông tại M và ΔCBK vuông tại K có
góc BCK chung
=>ΔCHM đồng dạng vơi ΔCBK
=>CH/CB=CM/CK
=>CB*CM=CH*CK
BH*BN+CH*CK
=BM*BC+CM*BC
=BC^2
a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
góc EAB chung
DO đo: ΔAEB\(\sim\)ΔAFC
Suy ra: AE/AF=AB/AC
hay AE/AB=AF/AC
b: Xét ΔAEF và ΔABC có
AE/AB=AF/AC
góc FAE chung
DO đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC
c: Xét ΔMFB và ΔMCE có
góc MFB=góc MCE
góc FMB chung
Do đó:ΔMFB\(\sim\)ΔMCE
Suy ra: MF/MC=MB/ME
hay \(MF\cdot ME=MB\cdot MC\)
ta có : \(M=\dfrac{1}{abc+ab+a+1}+\dfrac{1}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{1}{acb+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\)
\(\Leftrightarrow M=\dfrac{abcd}{abcd+abc+ab+a}+\dfrac{1}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{1}{acb+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{bcd}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{1}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{1}{acb+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{bcd+1}{bcd+bc+b+1}+\dfrac{1}{acb+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{abcd+bcd}{abcd+bcd+bc+b}+\dfrac{1}{acb+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{acd+cd}{acd+cd+c+1}+\dfrac{1}{acb+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{acd+cd+1}{acd+cd+c+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{abcd+acd+cd}{abcd+acd+cd+c}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{abd+ad+d}{abd+ad+d+1}+\dfrac{1}{abd+ad+d+1}\) \(\Leftrightarrow M=\dfrac{abd+ad+d+1}{abd+ad+d+1}=1\)
Xét tam giác ABC có AB = c ; AC =a ; BC = a ; AD = x ; BE = y ; CF = z ( AD ; BE ; CF là các đường phân giác).
Kẻ đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại M
=> BAD^ = M^ (đồng vị)
DAC^ = ACM^ (so le trong)
Mà BAD^ = DAC^ ( AD là phân giác)
=> M^ = ACM^
=> tam giác ACM cân tại A
=> AM = AC
Xét tam giác AMC có MC < AC + AM (bất đẳng thức trong tam giác AMC)
=> MC < 2AC
Xét tam giác BMC có: AD // MC
=> tam giác BAD đồng dạng tam giác BMC (hệ quả Ta - lét)
=> AD/MC = AB/MB = AB/ (AB+AM)
=> AD = (MC. AB) / (AB+AC) < ( AB . 2AC)/(AB+AC)
=> 1/AD > (AB+AC)/(AB. 2AC)
=> 1/AD > 1/2AC + 1/2AB
=> 1/AD > 1/2.(1/AC + 1/AB)
=> 1/x > 1/2. ( 1/a + 1/c ) (1)
Chứng minh tương tự: 1/y > 1/2. (1/b + 1/c) (2)
1/z > 1/2.(1/a + 1/b) (3)
Cộng (1) (2) và (3) theo từng vế: ta có:
1/x + 1/y + 1/z > 1/2 .(1/a + 1/c + 1/b + 1/c + 1/a + 1/b )
=>1/x + 1/y + 1/z > 1/a + 1/b + 1/c
Bài 1: Ta có:
\(M=\frac{ad}{abcd+abd+ad+d}+\frac{bad}{bcd.ad+bc.ad+bad+ad}+\frac{c.abd}{cda.abd+cd.abd+cabd+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
\(=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{bad}{d+1+bad+ad}+\frac{1}{ad+d+1+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
$=\frac{ad+abd+1+d}{ad+abd+1+d}=1$
Bài 2:
Vì $a,b,c,d\in [0;1]$ nên
\(N\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{abcd+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1}\)
Ta cũng có:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$
Tương tự:
$c+d\leq cd+1$
$(ab-1)(cd-1)\geq 0\Rightarrow ab+cd\leq abcd+1$
Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì $a+b+c+d\leq abcd+3$
$\Rightarrow N\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}=\frac{3(abcd+1)-2abcd}{abcd+1}$
$=3-\frac{2abcd}{abcd+1}\leq 3$
Vậy $N_{\max}=3$