Question

[Nguyễn Quỳnh Trang]

1, Cho a + b = 2

Tính a² + b² + 6ab

2, Tìm a, b sao cho a² + b² - ab - a - b + 1 = 0

3, Cho x + y = x² + y² = x³ + y³

Tìm x, y

4, Cho ab + bc + ca = 1

Rút gọn: P = \(\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}-\frac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)

5, Cho P = x³ + y³ + 3xy là số nguyên tố, x và y \(\in N\). Tìm x,y

Answer 1

[Akai Haruma]

Bài 1: Chưa đủ dữ kiện để tính. Từ $a+b=2$ bạn chỉ có thể tính $a^2+b^2+2ab$

Bài 2:

\(a^2+b^2-ab-a-b+1=0\)

\(\Leftrightarrow 2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2=0\)

Vì \((a-b)^2\geq 0; (a-1)^2\geq 0;(b-1)^2\geq 0, \forall a,b\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow (a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\geq 0\)

Dấu "=" xảy ra khi \((a-b)^2=(a-1)^2=(b-1)^2=0\Leftrightarrow a=b=1\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Bài 3:

\(x+y=x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)\)

\(\Leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2-1)=0\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x+y=0\\ x^2-xy+y^2-1=0\end{matrix}\right.\).

Nếu $x+y=0$ \(\Rightarrow x^2+y^2=x+y=0\)

Mà \(x^2\geq 0, y^2\geq 0, \forall x,y\) nên để tổng của chúng bằng $0$ thì \(x^2=y^2=0\Leftrightarrow x=y=0\) (thỏa mãn)

Nếu \(x^2-xy+y^2-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2)-xy-1=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-xy-1=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(1-y)=0\) \(\Rightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ y=1\end{matrix}\right.\)

\(x=1\Rightarrow 1+y=1+y^2=1+y^3\)

\(\Leftrightarrow y=y^2=y^3\Rightarrow y=0\) hoặc $y=1$

\(y=1\Rightarrow x+1=x^2+1=x^3+1\)

\(\Leftrightarrow x=x^2=x^3\Rightarrow x=0\) hoặc $x=1$.

Vậy $(x,y)=(0,0); (1,0), (0,1), (1,1)$