Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(Đề có cho \(a,b,c\) dương không bạn? Nếu có thì ta làm như sau:)
Dự đoán \(P\) đạt GTNN tại \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\), nghĩa là \(\frac{1}{abc}=3\sqrt{3}\).
Vậy ta tách: \(P=9a+9b+9c+\frac{1}{abc}-8\left(a+b+c\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy và BĐT \(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right)\) ta có:
\(P\ge4.\sqrt[4]{9^3}-8\sqrt{3}=4\sqrt{3}\). Đẳng thức xảy ra tại \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(M\ge3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)}=3\left(ab+bc+ca\right)+2\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\)
\(\text{Đặt }t=\sqrt{1-2\left(ab+bc+ca\right)}\Rightarrow ab+bc+ca=\frac{1-t^2}{2}\)
\(\text{Ta có: }0\le ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\in\left[0;\frac{1}{3}\right]\)
\(\Rightarrow-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[-\frac{2}{3};0\right]\)
\(\Rightarrow1-2\left(ab+bc+ca\right)\in\left[\frac{1}{3};1\right]\)
\(\Rightarrow t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\)
\(M=3.\frac{1-t^2}{2}+2t=-\frac{3}{2}t^2+2t+\frac{3}{2}\)
Lập bảng biến thiên hàm bậc 2, suy ra \(\text{Min }M\text{ (}t\in\left[\frac{1}{\sqrt{3}};1\right]\text{) }=2\text{ tại }t=1\)
Vậy GTNN của M là 2 khi t = 1 hay \(ab+bc+ca=0\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1;0;0\right);\left(0;0;1\right);\left(0;1;0\right)\)
UCT. Chứng minh \(2a+\frac{1}{a}\ge\frac{a^2+5}{2}\) với \(0< a^2;b^2;c^2< \sqrt{3}\)
Tương tự cộng lại là xong
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\(a+\frac{1}{a}\ge2\)và \(b+\frac{1}{b}\ge2\)và \(c+\frac{1}{c}\ge2\)
\(\Rightarrow P\ge a+b+c+6\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)( thỏa đề bài)
\(\Leftrightarrow minP=1+1+1+6=9\)
mình quỳ bạn luôn Nhân Thiên Hoàng ạ kiệt lên mạng hỏi mà mày lại bảo vậy thì thua luôn
Ta có: \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2=1\)
Mặt khác: \(\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)
Cộng 2 vế của 2 phương trình trên ta có:
\(2a^2+2b^2\ge1\Rightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge1\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=1/2
câu 2 dùng bđt \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)