Câu hỏi của Nguyễn Đức An

Question

Lê Song Phương · Accepted Answer

Dễ thấy A, B nằm cùng phía đối với mp (Oxy)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A, B lên mp (Oxy)

$\Rightarrow H\left(1;2;0\right),K\left(7;10;0\right)$ $\Rightarrow\overrightarrow{HK}=\left(6;8;0\right)$

Để $P=AM+BN$ nhỏ nhất, dễ thấy M, N phải nằm trên đường thẳng HK

$\Rightarrow\exists k\inℝ:\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{HK}=\left(6k;8k;0\right)$

Mà $MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{\left(6k\right)^2+\left(8k\right)^2}=10k=4$ $\Rightarrow k=\dfrac{2}{5}$

$\Rightarrow\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{16}{5};0\right)=\overrightarrow{u}$

Gọi C là điểm đối xứng với A qua (Oxy) $\Rightarrow C\left(1;2;-3\right)$

Gọi $A'=T_{\overrightarrow{u}}\left(C\right)\Rightarrow A'\left(\dfrac{17}{5};\dfrac{26}{5};-3\right)$

Khi đó dễ thấy tứ giác MNA'C là hình bình hành (vì A' là ảnh của C qua $\overrightarrow{MN}$) nên $MC=NA'$

Hơn nữa, vì C đối xứng với A qua (Oxy) $\Rightarrow MA=MC\Rightarrow MA=NA'$

$\Rightarrow T=AM+BN=A'N+BN\ge A'B$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ N là giao điểm của A'B và (Oxy)

Khi đó $\overrightarrow{A'B}=\left(\dfrac{18}{5};\dfrac{24}{5};9\right)$. Chọn $\overrightarrow{n_{AB}}=\left(6;8;15\right)$

$\Rightarrow A'B:\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y-10}{8}=\dfrac{z-6}{15}$

Cho A'B cắt (Oxy) $\Rightarrow z=0$ $\Rightarrow\dfrac{x-7}{6}=\dfrac{y-10}{8}=-\dfrac{2}{5}$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{23}{5}\y=\dfrac{34}{5}\end{matrix}\right.$ $\Rightarrow N\left(\dfrac{23}{5};\dfrac{34}{5};0\right)$

Lại có $\overrightarrow{MN}=\left(\dfrac{12}{5};\dfrac{16}{5};0\right)$ $\Rightarrow M\left(\dfrac{11}{5};\dfrac{18}{5};0\right)$

$\Rightarrow x_M+y_N=\dfrac{11}{5}+\dfrac{34}{5}=9$

Vậy $x_M+y_N=9$

Câu trả lời: