Gọi các quả cân là \(1 , 2 , 4 , 8\) (tổng \(1 + 2 + 4 + 8 = 15\)).
- Giới hạn trên.
Nếu đặt tất cả các quả cân bên đối diện vật (tức là cộng toàn bộ khối lượng các quả cân), tổng khối lượng đối diện vật lớn nhất là \(1 + 2 + 4 + 8 = 15\). Do đó không thể cân được vật có khối lượng lớn hơn \(15\) kg. - Tồn tại cách cân cho mọi \(n\) nguyên thỏa \(1 \leq n \leq 15\).
Mọi số nguyên \(n\) trong đoạn \(\left[\right. 1 , 15 \left]\right.\) đều có biểu diễn nhị phân với các chữ số \(0\) hoặc \(1\) trên các trọng số \(1 , 2 , 4 , 8\), tức là tồn tại các \(b_0,b_1,b_2,b_3\in\left\lbrace0,1\right\rbrace\) sao cho
\(n = b_{0} \cdot 1 + b_{1} \cdot 2 + b_{2} \cdot 4 + b_{3} \cdot 8.\)
Với mỗi \(i\) đặt quả cân \(2^{i}\) (nếu \(b_{i} = 1\)) sang phía đối diện vật; nếu \(b_{i} = 0\) thì không dùng quả cân đó. Khi đó tổng khối lượng các quả cân ở phía đối diện đúng bằng \(n\), nên cân được vật có khối lượng \(n\).
Từ (1) và (2) suy ra: với các quả cân \(1 , 2 , 4 , 8\) ta chính xác có thể cân được mọi vật có khối lượng nguyên từ \(1\) đến \(15\) kg, và không thể cân được khối lượng nguyên lớn hơn \(15\) kg.
