Ta coi chiếc bánh là 1, tính lượng ăn của 100 người so với 1.
Ta gọi f(i) là lượng ăn của người thứ i.
Người thứ 1 ăn: f(1) = 1%.100%, còn 99%.100%
Người thứ 2 ăn: f(2) = 2%.99%.100%, còn 98%.99%.100%
Người thứ 3 ăn: f(3) = 3%.98%.99%.100%, còn 97%.98%.99%.100%
Cứ tương tự như vậy, ta tổng quát được lượng ăn của người thứ k (100≥k≥1) là
\(f(k)=k\% . \prod_{i=1}^k (101-i)\%\)
Khi này, xét với k thỏa mãn 99≥k≥1, có \(\dfrac{f(k+1)}{f(k)} = \dfrac{(k+1)(100-k)}{100k}\)
+ \(\dfrac{f(k+1)}{f(k)} \geq 1 \Leftrightarrow (k+1)(100-k)\geq 100k \Leftrightarrow k^2+k-100 \leq 0 \Leftrightarrow \dfrac{-1-\sqrt{401}}{2} \leq k \leq \dfrac{-1+\sqrt{401}}{2}\approx 9,512\)
Ngược lại: \(\dfrac{f(k+1)}{f(k)} < 1 \Leftrightarrow \dfrac{-1-\sqrt{401}}{2} > k \ \text{hoặc}\ k> \dfrac{-1+\sqrt{401}}{2}\approx 9,512\)
Từ điều trên, ta suy ra được rằng: \(f(1) < f(2) < f(3) <\cdots < f(9) < f(10) > f(11) > f(12) >\cdots >f(99) > f(100)\)
Vậy người ăn nhiều nhất là người thứ 10.
