Với \(x \geq 0\) và \(x \neq 4\) ta có:

\(P = \frac{2 \left(\right. \sqrt{x} - 2 \left.\right) + 5}{\sqrt{x} - 2} = 2 + \frac{5}{\sqrt{x} - 2}\).

Ta có \(P \in \mathbb{Z}\) khi \(\frac{5}{\sqrt{x} - 2} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \sqrt{x} - 2 \in\) Ư\(\left(\right. 5 \left.\right)\).

Vậy \(x \in \left{\right. 1 ; 9 ; 49 \left.\right}\) thì \(P\) nhận giá trị nguyên

A=x​−1x​−1+1​=x​−1x​−1​+x​−11​=1+x​−11​.

Để \(A\) là số nguyên thì \(\sqrt{x} - 1\) là ước của \(1\).

Suy ra \(\sqrt{x} - 1 \in \&\text{nbsp}; \left{\right. - 1 ; 1 \left.\right}\).

Các giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện của bài toán. Vậy \(x \in \left{\right. 0 ; 4 \left.\right}\) thì \(A\) nhận giá trị nguyên.

a) \(- \mid 3 x + 1 \mid \leq 0\) với mọi \(x\) nên giá trị lớn nhất của biểu thức \(- \mid 3 x + 1 \mid\) là \(0\) đạt được khi \(3 x + 1 = 0\) hay \(x = - \frac{1}{3}\).

b) Ta có: \(\frac{1}{\mid x + 6 \mid + 2} \geq 2\).

Suy ra \(\frac{1}{\mid x + 6 \mid + 2} \leq \frac{1}{2}\).

Giá trị lớn nhất của biểu thức \(\frac{1}{\mid x + 6 \mid + 2}\) là \(\frac{1}{2}\) đạt được khi \(x + 6 = 0\) hay \(x = - 6\).

Vì \(\sqrt{x} \geq 0\) với \(x \geq 0\) nên \(A = \sqrt{x} - 1 \geq - 1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(min ⁡ A = - 1\) đạt được khi \(x = 0\).

Vì \(\sqrt{x} \geq 0\) với \(x \geq 0\) nên \(A = \sqrt{x} - 1 \geq - 1\).

Dấu "=" xảy ra khi \(x = 0\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(min ⁡ A = - 1\) đạt được khi \(x = 0\).

∣x​−1∣−3=1⇒∣x​−1∣=4⇒x​−1=4 hoặc \(\sqrt{x} - 1 = - 4\).

\(\Rightarrow \sqrt{x} = 5\) hoặc \(\sqrt{x} = - 3\) (không thỏa mãn vì \(\sqrt{x} \geq 0\)).

\(\Rightarrow x = 25\).

Vậy \(x = 25.\) 

Tiền lãi một tháng là: \(\left(\right. 2 062 400 - 2 000 000 \left.\right) : 6 = 10 400\) (đồng).

Lãi suất hàng tháng là: \(\frac{10 400.100 \%}{2 000 000} = 0 , 52 \%\).

a) \(0 , \left(\right. 3 \left.\right) + 3 \frac{1}{2} + 0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right)\).

 Ta đưa \(0 , \left(\right. 3 \left.\right)\) và \(0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right)\) về phân số như sau:

+ Đặt \(x = 0 , \left(\right. 3 \left.\right)\) thì \(10 x = 3 , \left(\right. 3 \left.\right) = 3 + 0 , \left(\right. 3 \left.\right) = 3 + x\).

Suy ra \(9 x = 3\) hay \(x = \frac{1}{3} = 0 , \left(\right. 3 \left.\right)\).

+ Ta có \(0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right) = 0 , 4 + 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right)\)

Đặt \(y = 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right)\) thì \(100 y = 2 , \left(\right. 2 \left.\right) = 2 + 10 y\)

Suy ra \(90 y = 2\) hay \(y = 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{1}{45}\).

Do đó, \(0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right) = 0 , 4 + 0 , 0 \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{19}{45}\).

 Quay trở lại bài toán: \(0 , \left(\right. 3 \left.\right) + 3 \frac{1}{2} + 0 , 4 \left(\right. 2 \left.\right) = \frac{1}{3} + \frac{7}{2} + \frac{19}{45} = \frac{383}{90} .\)

b) \(\frac{4}{9} + 1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right) - \&\text{nbsp}; 0 , \left(\right. 13 \left.\right)\).

 Ta đưa \(1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right)\) và \(0 , \left(\right. 13 \left.\right)\) về phân số như sau:

Đặt \(x = 0 , \left(\right. 01 \left.\right)\) thì \(100 x = 1 , \left(\right. 01 \left.\right) = 1 + x\).

Suy ra \(99 x = 1\) hay \(x = \frac{1}{99} = 0 , \left(\right. 01 \left.\right)\).

+ Tính \(1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right)\):

Xét \(0 , \left(\right. 31 \left.\right) = 0 , \left(\right. 01 \left.\right) . \&\text{nbsp}; 31 = 31. \frac{1}{99} = \frac{31}{99}\).

Vậy \(1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right) = 1 + 0 , 2 + 0 , 0 \left(\right. 31 \left.\right) = 1 + \frac{1}{5} + \frac{31}{990} = \frac{1219}{990}\).

+ Tính \(0 , \left(\right. 13 \left.\right) = 13.0 , 0 \left(\right. 1 \left.\right) = 13. \frac{1}{99} = \frac{13}{99}\).

 Quay trở lại bài toán: \(\frac{4}{9} + 1 , 2 \left(\right. 31 \left.\right) - \&\text{nbsp}; 0 , \left(\right. 13 \left.\right) = \frac{4}{9} + \frac{1219}{990} - \frac{13}{99} = \frac{139}{90}\).

a) \(A = x^{2} - 2 x + 3\) khi \(\mid x \mid = 0 , 5\).

Ta có \(\mid x \mid = 0 , 5\) thì \(x = 0 , 5\) hoặc \(x = - 0 , 5\).

+ Với \(x = 0 , 5\) ta có \(A = 0 , 5^{2} - 2.0 , 5 + 3 = 2 , 25\).

+ Với \(x = - 0 , 5\) ta có \(A = \left(\right. - 0 , 5 \left.\right)^{2} - 2. \left(\right. - 0 , 5 \left.\right) + 3 = 4 , 25\).

b) \(B = x - 3 + \mid 1 - 3 x \mid\) khi \(\mid x \mid = \frac{1}{3}\).

Ta có \(\mid x \mid = \frac{1}{3}\) thì \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).

+ Với \(x = \frac{1}{3}\) ta có \(B = \frac{1}{3} - 3 + \mid 1 - 3. \frac{1}{3} \mid = - \frac{8}{3}\).

+ Với \(x = - \frac{1}{3}\) ta có \(B = - \frac{1}{3} - 3 + \mid 1 - 3. \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) \mid = - \frac{1}{3} - 3 + 2 = - \frac{4}{3}\).

a) \(A = x^{2} - 2 x + 3\) khi \(\mid x \mid = 0 , 5\).

Ta có \(\mid x \mid = 0 , 5\) thì \(x = 0 , 5\) hoặc \(x = - 0 , 5\).

+ Với \(x = 0 , 5\) ta có \(A = 0 , 5^{2} - 2.0 , 5 + 3 = 2 , 25\).

+ Với \(x = - 0 , 5\) ta có \(A = \left(\right. - 0 , 5 \left.\right)^{2} - 2. \left(\right. - 0 , 5 \left.\right) + 3 = 4 , 25\).

b) \(B = x - 3 + \mid 1 - 3 x \mid\) khi \(\mid x \mid = \frac{1}{3}\).

Ta có \(\mid x \mid = \frac{1}{3}\) thì \(x = \frac{1}{3}\) hoặc \(x = - \frac{1}{3}\).

+ Với \(x = \frac{1}{3}\) ta có \(B = \frac{1}{3} - 3 + \mid 1 - 3. \frac{1}{3} \mid = - \frac{8}{3}\).

+ Với \(x = - \frac{1}{3}\) ta có \(B = - \frac{1}{3} - 3 + \mid 1 - 3. \left(\right. - \frac{1}{3} \left.\right) \mid = - \frac{1}{3} - 3 + 2 = - \frac{4}{3}\).