Question

[Mông Thanh Tùng]

CMR: a⁵b-b⁵a chia hết cho 30 với mọi a,b thuộc Z.

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$A=a^5b-ab^5=ab(a^4-b^4)=ab(a^2-b^2)(a^2+b^2)$

Nếu $a,b$ khác tính chẵn lẻ thì hiển nhiên 1 trong 2 số là số chẵn, 

$\Rightarrow ab\vdots 2\Rightarrow A\vdots 2$

Nếu $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $a^2-b^2\vdots 2$

$\Rightarrow A\vdots 2$

Vậy tóm lại $A\vdots 2(1)$

Lại có:
Nếu ít nhất 1 trong 2 số $a,b$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $A\vdots 3$.

Nếu cả 2 số $a,b$ đều không chia hết cho 3. Ta biết 1 scp khi chia 3 dư 0 hoặc 1. Mà $a,b$ không chia hết cho 3 nên $a^2,b^2$ chia 3 dư 1.

$\Rightarrow a^2-b^2\equiv 1-1\equiv 0\pmod 3$
$\Rightarrow A\vdots 3$

Vậy $A\vdots 3(2)$

Xét tính chia hết cho 5

Nếu 1 trong 2 số $a,b$ chia hết cho 5 thì hiển nhiên $A\vdots 5$

Nếu cả 2 số đều không chia hết cho 5. 

Ta biết 1 scp khi chia 5 dư 0,1,4. Vì $a,b$ không chia hết cho 5 nên $a^2,b^2$ chia 5 dư 1 hoặc 4.

TH $a^2,b^2$ cùng dư 1 hoặc cùng dư 4 khi chia 5 thì $a^2-b^2\vdots 5\Rightarrow A\vdots 5$

TH $a^2,b^2$ khác dư, tức là 1 số chia 5 dư 1 còn 1 số chia 5 dư 4

$\Rightarrow a^2+b^2\equiv 1+4\equiv 5\equiv 0\pmod 5$

$\Rightarrow A\vdots 5$

Vậy tóm lại $A\vdots 5(3)$

Từ $(1); (2); (3)$ mà $2,3,5$ đôi một nguyên tố cùng nhau nên $A\vdots (2.3.5)$ hay $A\vdots 30$