\(A=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-10y+25\right)+\frac{19}{4}\)

\(=\left(x^2+2\cdot\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)+\left(y^2-2\cdot5y+5^2\right)+\frac{19}{4}=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-5\right)^2+\frac{19}{4}>=\frac{19}{4}\)

dấu = xảy ra khi \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2=0\Rightarrow x+\frac{1}{2}=0\Rightarrow x=-\frac{1}{2}\)

                        \(\left(y-5\right)^2=0\Rightarrow y-5=0\Rightarrow y=5\)

vậy min A là \(\frac{19}{4}\)khi \(x=-\frac{1}{2};y=5\)

( đề là tìm gtnn à ??? )

\(A=x^2+x+y^2-10y+30\)

\(A=\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\left(y^2-10y+25\right)+\frac{19}{4}\)

\(A=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-5\right)^2+\frac{19}{4}\)

Mà  \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)

       \(\left(y-5\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge\frac{19}{4}\)

Dấu " = " xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}x+\frac{1}{2}=0\\y-5=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=5\end{cases}}\)

Vậy  \(A_{Min}=\frac{19}{4}\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(-\frac{1}{2};5\right)\)

1.              Giải 

Ta chứng minh với mọi x, y luôn có : \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\) (1) 

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\)

ÁP DỤNG (1) ta được 

\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\left(đpcm\right)\)

2.  Ta biến đổi các Đẳng thức : \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{2}-ab+\frac{b^2}{2}\right)+\left(\frac{b^2}{2}-bc+\frac{c^2}{2}\right)-\left(\frac{c^2}{2}-ca+\frac{a^2}{2}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{\sqrt{2}}-\frac{b}{\sqrt{2}}\right)^2+\left(\frac{b}{\sqrt{2}}-\frac{c}{\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{c}{\sqrt{2}}-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)\ge0\left(đpcm\right)\)

\(2x\left(x^2+2\right)=\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)\)

\(\Rightarrow2x\left(x^2+2\right)-\left(x-3\right)\left(x^2+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(2x-x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+2\right)\left(x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x^2+2=0\\x+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow x=-3\)

Vậy , phương trình có nghiệm duy nhất x = -3 

2\(x\) \(\left(x^2+2\right)\) = \(\left(x-3\right)\) \(\left(x^2+2\right)\)

\(\Rightarrow\) 2\(x\) \(\left(x^2+2\right)\) - \(\left(x-3\right)\) \(\left(x^2+2\right)\) = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left(x^2+2\right)\) \(\left(2x-x+3\right)\) = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\left(x^2+2\right)\) \(\left(x+3\right)\) = 0

\(\Leftrightarrow\) \(\orbr{\begin{cases}x^2+2=0\\x+3=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow x=-3\) 

Vậy,phương trình có nghiệm duy nhất x = -3

Q(toả ra) = 1.(200-t).880 + 1.(500-t).380+1.(60-t).460

=> Q(toả ra) = 176000 - 880t + 190000-380t + 27600 - 460t

=> Q(toả ra) = 393600 - 1720t

Q(thu vào) = 2.(t - 40).4200

=> Q(thu vào) = 8400t - 80

mà Q(toả ra) = Q(thu vào)

=> 393600 - 1720t = 8400t - 80

<=> 393680 = 10120t

<=> t = 38,9 (0C)

\(3x^2-x^2-3x+1=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-3x+1=0\)

Ta có: a + b + c = 2 + (-3) + 1 =0 => phương trình có 2 nghiệm phân biệt

\(x_1=1\)                                                     \(x_2=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\)

\(x^2+6x+9=x^2+2.3x+3^2=\left(x+3\right)^2\)

\(10x-25-x^2=-\left(x^2-2.5x+5^2\right)=-\left(x-5\right)^2\)

\\(8x^3-\frac{1}{8}=\left(2x\right)^3-\left(\frac{1}{2}\right)^3=\left(2x-\frac{1}{2}\right)\left(4x^2+x+\frac{1}{4}\right)\)

\(\frac{1}{25}x^2-64y^2=\left(\frac{1}{5}x\right)^2-\left(8y\right)^2=\left(\frac{1}{5x}-8y\right)\left(\frac{1}{5x}+8y\right)\)

cái này phải hs a thịnh

em ko biết

1a)

\(\hept{\begin{cases}2x-2017=1\\12x-2017=1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=2018\\12x=2018\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1009\\x=\frac{1009}{6}\end{cases}}\)

Em  nghĩ là như vậy . Nếu có gì em sẽ sửa.

Gọi số thứ nhất là a ( 0 < a < 125 )

Số thứ hai là 4a

Ta có phương trình :

\(a+4a=125\)

\(\Leftrightarrow5a=125\)

\(\Leftrightarrow a=25\left(tm\right)\)

Vậy số thứ 1 là 25

Số thứ 2 = 25 x 4 = 100

Vậy ...

Ta có: \(x^2-xy+y^2-x-y=0\) 

\(\Leftrightarrow x^2-x\left(y+1\right)+y^2-y=0\) 

\(\Leftrightarrow4x^2-4x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2-\left(y^2+2y+1\right)+4y^2-4y=0\) 

\(\Leftrightarrow4x^2-4x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2+3y^2-6y-1=0\) 

\(\Leftrightarrow\left(2x-y-1\right)^2+3\left(y+1\right)^2=4\)  

Do \(x,y\in Z\Rightarrow\left(2x-y-1\right)^2;\left(y+1\right)^2\ge0\) 

\(\Rightarrow3\left(y+1\right)^2\le4\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2\le\frac{3}{4}\)  

Sau đó bạn xét từng giá trị nhé

Đặt độ dài mối cạnh của hình vuông là a (a\(\in\)R⁺)

Ta thấy:\(\Delta\)AA'O vuông tại A' => ^A'AO + A'OA = 90⁰

Mà ^A'OA + ^B'OB = 90⁰ nên ^A'AO = ^B'OB

Xét \(\Delta\)AA'O và \(\Delta\)OB'B: ^AA'O = ^OB'B = 90⁰; AO=BO; ^A'AO = ^B'OB

=> \(\Delta\)AA'O = \(\Delta\)OB'B (Cạnh huyền góc nhọn) => AA'=OB'

Xét \(\Delta\)BB'O: ^BB'O=90⁰ => OB' ² + BB' ² = OB²

Do AA' = OB' => AA' ² + BB' ² = OB² (1)

Tương tự, ta có: CC' ² + DD' ² = OC² (2)

Cộng (1) với (2) => AA' ² + BB' ² + CC' ² + DD' ² = OB² +OC² = a² (Vì \(\Delta\)BOC vuông cân đỉnh O)

Mà a không đổi nên ta có điều phải chứng minh.