Công thức :

\(1-\frac{1}{k^2}=\frac{k^2-1^2}{k^2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{k^2}\)

Theo công thức , ta có :

\(\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)..........\left(1-\frac{1}{n^2}\right)\)

\(=\frac{2^2-1}{2^2}.\frac{3^2-1}{3^2}.\frac{4^2-1}{4^2}.......\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(=\frac{\left(2+1\right)\left(2-1\right)}{2.2}.\frac{\left(3+1\right)\left(3-1\right)}{3.3}.\frac{\left(4+1\right)\left(4-1\right)}{4.4}......\frac{\left(n+1\right)\left(n-1\right)}{n.n}\)

\(=\frac{\left[1.2.3...\left(n+1\right).\left(3.4.5\right)......\left(n-1\right)\right]}{\left(2.3.4...n\right)\left(2.3.4...n\right)}\)

\(=n+1.\frac{1}{2n}=\frac{n+1}{2n}\)

Số miếng dưa nhiều nhất là \(2^{10}=1024\)(miếng)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+b^2d^2+2abcd\le a^2c^2+b^2d^2+a^2d^2+b^2c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2d^2+b^2c^2\ge2abcd\)=> BĐT đúng theo cauchy

• Kết quả là căn 2 nhé áp dụng bất đẳng thức Bunia-cop-xki

(ax+by)^2<=(x^2+y^2)(a^2+b^2) Bài này là với x,y=1; a,b là 2 cái căn.

Chứng minh bằng biến đổi tương đương

James và Jonathan đều nói dối vào những ngày nhất định.

James nói dối vào thứ Sáu, thứ Bảy và Chủ Nhật, nhưng nói thật vào tất cả những ngày còn lại.

Jonathan nói dối vào thứ Ba, thứ Tư và thứ Năm, nhưng nói thật vào tất cả những ngày còn lại.

Vào ngày nào trong tuần cả hai đều nói “Ngày mai, tôi sẽ nói dối?”

A. Chủ Nhật

B. Thứ Sáu

C. Thứ Năm

D. Thứ Hai

James và Jonathan đều nói dối vào những ngày nhất định.

James nói dối vào thứ Sáu, thứ Bảy và Chủ Nhật, nhưng nói thật vào tất cả những ngày còn lại.

Jonathan nói dối vào thứ Ba, thứ Tư và thứ Năm, nhưng nói thật vào tất cả những ngày còn lại.

Vào ngày nào trong tuần cả hai đều nói “Ngày mai, tôi sẽ nói dối?”

A. Chủ Nhật

B. Thứ Sáu

C. Thứ Năm

D. Thứ Hai

 Đáp án : D. Thứ Hai

a/ 

Ta có

\(OM\perp AD;ON\perp BD\)(Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì đường thẳng nối điểm đó với tâm đường tròn vuông góc và chia đôi dây cung nối 2 tiếp điểm) \(\Rightarrow\widehat{MON}=\widehat{ADB}\)(góc có cạnh tương ứng vuông góc)

Mà \(\widehat{ADB}=90^o\)(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{MON}=\widehat{ADB}=90^o\)

b/

Xét tg vuông MON có 

\(OD^2=DM.DN\)(Trong tg vuông bình phương đường cao của tg bằng tích của hai hình chiếu 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

Mà \(DM=AM;DN=BN\)(Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau)

\(\Rightarrow DM.DN=AM.BN=OD^2\) (không đổi) => AM.BN không phụ thuộc vị trí điểm D

c/

Xét tg vuông MON

Gọi O' là trung điểm của MN => O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tg MON => O'O là bán kính của đường tròn (O')

Ta có

\(AM\perp AB;BN\perp AB\) (1) => AM//BN => AMNB là hình thang

Ta có

O'M=O'N; OA=OB => O'O là đường trung bình của hình thang AMNB => O'O//AM//BN (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow O'O\perp AB\) (cùng // với AM) => AB là tiếp tuyến (O')

d/

Ta có

\(AD\perp BD\Rightarrow ID\perp BD;ON\perp BD\left(cmt\right)\Rightarrow KO\perp BD\) => ID//KO

\(BD\perp AD\Rightarrow KD\perp AD;OM\perp AD\left(cmt\right)\Rightarrow OI\perp AD\)=> KD//OI

=> IDKO là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh) 

Mà \(\widehat{ADB}=90^o\left(cmt\right)\)

=> IDKO là HCN (Hình bình hành có 1 góc vuông là HCN)

Phương trình hoành độ giao điểm \(\left(d_1\right)\)và \(\left(d_2\right)\)là: 

\(\left(m+1\right)x+2=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x=-1\)(1) 

Với \(m=1\)phương trình (1) vô nghiệm nên \(\left(d_1\right)\)và \(\left(d_2\right)\)không cắt nhau. 

Với \(m\ne1\)phương trình (1) tương đương với: 

\(x=-\frac{1}{m-1}\)

suy ra \(y=2x+1=\frac{-2}{m-1}+1=\frac{m-3}{m-1}\)

Để giao điểm hai đường đã cho có hoành độ và tung độ trái dấu thì: 

\(-\frac{1}{m-1}.\frac{m-3}{m-1}< 0\Leftrightarrow3-m< 0\Leftrightarrow m>3\).

gọi số bé hơn là x 

ta có số lớn hơn sẽ là 9x +10

ta có tổng hai số là : \(x+9x+10=160\Leftrightarrow10x=150\Leftrightarrow x=15\)

vậy hai số cần tìm là 15 và 145