30) Đặt \(HB=x;HC=y\)\(\left(x;y>0\right)\)

Dễ thấy \(x+y=HB+HC=BC=25\)(1)

\(\Delta ABC\)vuông tại A, đường cao AH \(\Rightarrow HB.HC=AH^2=12^2=144\)hay \(xy=144\)(2)

Từ (1) và (2) \(\hept{\begin{cases}x+y=25\\xy=144\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=25-x\\x\left(25-x\right)=144\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=25-x\\-x^2+25x=144\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=25-x\\x^2-25x+144=0\left(\cdot\right)\end{cases}}\)

Giải \(\left(\cdot\right)\), ta được \(x^2-25x+144=0\)pt này có \(\Delta=\left(-25\right)^2-4.1.144=49>0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{-\left(-25\right)+\sqrt{49}}{2.1}=16\left(nhận\right)\\x_2=\frac{-\left(-25\right)-\sqrt{49}}{2.1}=9\left(nhận\right)\end{cases}}\)hay \(\orbr{\begin{cases}HB=16cm\\HC=9cm\end{cases}}\)

\(\Rightarrow50\%C\)và \(50\%D\), 2 đáp án này đều đúng.

31) Hạ đường cao AH của \(\Delta ABC\), vỉ \(\Delta ABC\)cân tại A nên đường cao AH cũng là trung tuyến và phân giác \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}BC=2HB\\\widehat{BAH}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{45^o}{2}=22,5^o\end{cases}}\)

\(\Delta ABH\)vuông tại H \(\Rightarrow BH=AB.\sin\widehat{BAH}=a.\sin22,5^o\)

\(\Rightarrow BC=2HB=2a.\sin22,5^o\)\(\approx0,765a\)

Mà \(\sqrt{2}\approx1,414\); \(\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707\)nên không đáp án nào trong 4 đáp án A, B, C, D đúng cả.

(Sao kì vậy? Câu 30 hai đáp án đúng còn câu 31 không đáp án nào đúng)

1, Để (d) // (d') <=> \(\hept{\begin{cases}m=1\\3m+2\ne1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m=1\\m\ne-\frac{1}{3}\end{cases}}\)

2, Thay y = 5 vào (d) ta được 5 = -3x + 2 <=> x = -1 

=> A(-1;5) 

Ta có (d') : y = ax - 4 ( a khác 0 ) đi qua A(-1;5) 

<=> -a - 4 = 5 <=> a = -9 (tm) 

a) m=1 và m≠-1/3. KL: m=1

b) 

Vì đt (d) cắt đt hs y=ax-4 tại điểm có tung độ bằng 5 hay y=5. Thay y=5 vào đt (d) ta có:

5=-3x+2 ⇔x=-1

*) Thay x=-1 và y=5 vào hso y=ax-4 ta có: 

a.(-1)-4=5⇔a=-9

KL:.....................

Hoành độ giao điểm tm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-2x-m+2=0\)

\(\Delta'=1-\left(-m+2\right)=m-1\)

Để (P) cắt (d) tại 2 điểm pb khi m > 1 

Theo Vi et \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\\x_1x_2=-m+2\end{cases}}\)

Ta có \(\left(x_1-x_2\right)^2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

Thay vào ta được \(4-4\left(-m+2\right)=4\Leftrightarrow4m-4=4\Leftrightarrow m=2\left(tm\right)\)

Xét ....

x²=2x+m-2 ⇔x²-2x-m+2=0 (1)

để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì (1) có 2 nghiệm PB. 

Hay Δ'>0 Hay: 1+m-2>0 ⇔ m-1>0 ⇔m>1.

Với m>1 thì (1) có 2 nghiệm pb x₁; x₂. Theo hệ thức Viet ta có:

S=x₁+ x₂=2 và P=x₁. x₂=-m+2

Ta có: |x₁-x₂|=2

⇔( |x₁-x₂|)²=2²

⇔(x₁-x₂)²=4 ⇔\(x^2_1-2x_1x_2+x^2_2=4\Leftrightarrow x_1^2+x_2^2+2x_1x_2-2x_1x_2-2x_1x_2=4\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2\)=4

⇔S²-4P=4 Hay 2²-4(-m+2)=4 ⇔4m=8 ⇔m=2 (TM)

Vậy ..........

a, Thay m = 0 ta được (d) : y = -4x - 3 

Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2+4x+3=0\Leftrightarrow x=-1;x=-3\)

Với x = -1 => y = 1 

Với x = -3 => y = 9 

Vậy (P) cắt (d) tại A(-1;1) ; B(-3;9) 

b, Hoành độ giao điểm (P) ; (d) tm pt 

\(x^2-\left(m^2-4\right)x-m^2+3=0\)

\(\Delta=\left(m^2-4\right)^2-4\left(-m^2+3\right)\)

\(=m^4-8m^2+16+4m^2-12=m^4-4m^2+4=\left(m^2-2\right)^2\)

Để pt luôn có 2 nghiệm pb khi \(m^2-2\ne0\Leftrightarrow m\ne\pm\sqrt{2}\)

a. 

*)với m =0 thì (d): y=-4x-3

*) Xét....: x²=-4x-3 ⇔ x²+4x+3=0

Vì 1-4+3=0 nên PT có nghiệm x₁=-1 hoặc x₂=-3

* )x₁=-1 thì y₁=1 =>A(...)

*)x₂=-3 thì y₂=9 => B(..) 

b) Xét ...............

x²=(m²-4)x+m²-3

⇔x²-(m²-4)x-m²+3=0 (1)

a=1; b=-(m²-4); c=-m²+3

Để.......... (1) có 2 nghiệm phân biệt

Cách 1: Δ>0 (Tự làm)

Cách 2: a-b+c=1+(m²-4)-m²+3=0

Pt(1) có 2 nghiệm: 

x₁=-1 và x₂=-(-m²+3)=m²-3

Để.... thì x₁≠x₂ hay: m²-3≠-1 ⇒m≠\(\pm\sqrt{2}\)

Vậy với m≠\(\pm\sqrt{2}\) thì  đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

a, Vì hàm số y=ax+b song song với đường thẳng y=3x nên a=3 (1)

và hàm số đi qua điểm M(5;1) nên ta có x=5; y=1 (2)

Từ (1) và (2), ta có 3.5+b=1 

                           <=> b= -14

Vậy hàm số y=ax+b có dạng y=3x-14

a) y=3x-14

b) xét...

-x²=2x+m ⇔x²+2x+m=0 (1)

.................. Δ'=0 hay 1-m=0

Suy ra m=1

KL:...............

\(P=\frac{x\sqrt{2}}{2\sqrt{x}+x\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2x}-2}{x-2}\)

\(=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}+\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{x}}=1\)

Ta có P = xy = x(k - x) = -x² + xk

= \(-x^2+2x\frac{k}{2}-\frac{k^2}{4}+\frac{k^2}{4}=-\left(x-\frac{k^2}{4}\right)^2+\frac{k^2}{4}\le\frac{k^2}{4}\)

=> \(P_{max}=\frac{k^2}{4}\left(\text{Dấu "=" khi }x=\frac{k^2}{4}\right)\)

Vì tam giác ABC vuông tại C ; đường cao CM=>  \(MC^2=MA.MB\)

\(MC^2=MA\left(AB-MA\right)=-MA^2+9MA\le\frac{81}{4}\)

=> \(MC\le\frac{9}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi MA = MB = 4,5 cm hay M trung điểm BC 

1) y= 2x-4

HD: y=ax+b

.... song song: a=2 và b≠-1

..... A(1;-2)  => x=1 và y=-2 và Δ....

a+b=-2

Hay 2+b=-2 (thay a=2) 

<=> b=-4

KL:................

2) Xét PT hoành độ giao điểm của (P) và (d)

x²=2(m-1)x-m+3 ⇔x²-2(m-1)x+m-3 =0 (1)

*) Δ'= (1-m)²-m+3= m²-3m+4=m²-2.\(\dfrac{3}{2}\)m+\(\dfrac{9}{4}\)+\(\dfrac{7}{4}\)=\(\left(m-\dfrac{3}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\). Vậy PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂.

*) Theo hệ thức Viet ta có: 

S=x₁+x₂=2(m-1) và P=x₁.x₂=m-3

*) Ta có: \(M=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\)

Thay S và P vào M ta có:

\(M=\left[2\left(m-1\right)\right]^2-2.\left(m-3\right)=4m^2-10m+10\\ =\left(2m\right)^2-2.2m.\dfrac{5}{2}+\dfrac{25}{4}+\dfrac{15}{4}=\left(2m-\dfrac{5}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\)

Vì (...)²≥0 nên M= (...)²+\(\dfrac{15}{4}\)≥\(\dfrac{15}{4}\)

Vậy M nhỏ nhất khi M=\(\dfrac{15}{4}\) khi 2m-\(\dfrac{5}{2}\)=0