Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để  số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

+ Phân thức: mẫu số khác $0$;

+ Căn thức: biểu thức trong căn không âm;

+ Hàm số lượng giác.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

Tính đạo hàm $y^{\prime }$;

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định;

Xét dấu đạo hàm $y^{\prime }$ suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

+ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ;

+ Dựa vào các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị;

+ Chú ý thêm tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có). 

1) Tập xác định $\mathbb{R}$.

2) Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=$

Ta có $y^{\prime }=-3(x-1{)}^2-1<0,$ $\forall x\in \mathbb{R}.$

Nên hàm số đã cho luôn nghịch biếnđồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$

và hàm số không có cực trịcó cực tiểucó cực đại.

+ Giới hạn tại vô cực:

$\stackrel{\lim }{x\to -\infty }y=\stackrel{\lim }{x\to -\infty }\left[-x^3\left(1-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{x}+\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{x^2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x^3}\right)\right]=+\infty$;

$\stackrel{\lim }{x\to +\infty }y=$+-$\infty$

+ Bảng biến thiên

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(1;0)$.

và cắt trục $Oy$ tại điểm (012;-102)

Đồ thị của hàm số đã cho là

Dạng đồ thị các hàm số dạng $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $(a\ne 0)$

+ Phân thức: mẫu số khác $0$;

+ Căn thức: biểu thức trong căn không âm;

+ Hàm số lượng giác.

+ Xét chiều biến thiên của hàm số:

Tính đạo hàm $y^{\prime }$;

Tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng $0$ hoặc không xác định;

Xét dấu đạo hàm $y^{\prime }$ suy ra chiều biến thiên của hàm số.

+ Tìm cực trị.

+ Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn tại vô cực và tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên.

+ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ;

+ Dựa vào các yếu tố ở trên để vẽ đồ thị;

+ Chú ý thêm tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có). 

1) Tập xác định $\mathbb{R}$.

2) Sự biến thiên

+ Chiều biến thiên:

$y^{\prime }=$

Ta có $y^{\prime }=-3(x-1{)}^2-1<0,$ $\forall x\in \mathbb{R}.$

Nên hàm số đã cho luôn nghịch biếnđồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty )$

và hàm số không có cực trịcó cực tiểucó cực đại.

+ Giới hạn tại vô cực:

$\stackrel{\lim }{x\to -\infty }y=\stackrel{\lim }{x\to -\infty }\left[-x^3\left(1-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{x}+\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{x^2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x^3}\right)\right]=+\infty$;

$\stackrel{\lim }{x\to +\infty }y=$+-$\infty$

+ Bảng biến thiên

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số cắt trục $Ox$ tại điểm $(1;0)$.

và cắt trục $Oy$ tại điểm (012;-102)

Đồ thị của hàm số đã cho là

Dạng đồ thị các hàm số dạng $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$, $(a\ne 0)$

Cho cấp số nhân $(u^n)$, biết $u^1=1$ và $u^4=64$. Công bội của cấp số nhân bằng

Cho ${\log }^{3}6=a$. Khi đó giá trị của ${\log }^{3}18$ được tính theo $a$ là

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z=1+2i$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số nghịch biến trên khoảng

Cho ${\int }^1\left[4f\left(x\right)-2x\right]\text{d}x=1$. Khi đó ${\int }^{1}f\left(x\right)\text{d}x$ bằng

Họ nguyên hàm của hàm số $g(x)=5^x$ là

Trong không gian với hệ trục $Oxyz$ cho điểm $I(-5;0;5)$ là trung điểm của đoạn $MN$, biết $M(1;-4;7)$. Tọa độ điểm $N$ là

Một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\sin 3x$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$: $x^2+y^2+z^2-2x+4y+4z+5=0$. Tâm của mặt cầu là

Đường thẳng nào là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{1-4x}{2x-1}$?

Phần ảo của số phức $(1+i)z=3-i$ bằng

Biết ${\int }^{0}f(x)\text{d}x=-1$. Khi đó $I={\int }^{0}f(4x)\text{d}x$ bằng

Giá trị $P$ là tích tất cả các nghiệm của phương trình $3.9^x-10.3^x+3=0$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ cho điểm $A(1;-2;4)$. Khoảng cách từ $A$ đến trục $Ox$ bằng

Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên đoạn $[1;2]$ và $f(1)=1$, $f(2)=2$. Khi đó ${\int }^1{f}^{\prime }(x)\text{d}x$ bằng

Gọi $(H)$ là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=(x-1{)}^3(x-2)$ và trục hoành. Diện tích hình phẳng $(H)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(P):$ $2x-3y-9z-1=0$. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $(P)$?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):$ $x-3y+2z-3=0$. Xét mặt phẳng $(Q):$ $2x-6y+mz-m=0$, $m$ là tham số thực. Giá trị $m$ để $(P)$ và $(Q)$ song song là

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có bảng xét dấu của như sau:

Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Tập xác định của hàm số $y=2^{\sqrt{x}}+\log \left(3-x\right)$ là

Nghiệm của phương trình ${\log }^2\left(3x-1\right)=0$ là

Cho $f(x),g(x)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$, $k\in \mathbb{R}$. Trong các khẳng định dưới đây khẳng định nào sai?

Cho lăng trụ tam giác đều có độ dài tất cả các cạnh bằng $3a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

Cho số phức $z$ được biểu diễn bởi điểm $M(-1;3)$ trên mặt phẳng tọa độ. Môđun của số phức $z$ bằng

Cho các số phức $z^1=1-2i$, $z^2=-3+i$. Điểm biểu diễn của số phức $z=z^1+z^2$ trên mặt phẳng tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, một vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :$ $\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{1}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{4-z}{-3}$ là

Đường cong ở hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?

Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng biến thiên như sau

Phương trình $2f(x)-3=0$ có bao nhiêu nghiệm?

Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào sau đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $M(1;-3;4)$, đường thẳng $d:$ $\genfrac{}{}{0ex}{}{x+2}{3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y-5}{-5}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z-2}{-1}$ và mặt phẳng $(P):$ $2x+z-2=0$. Phương trình đường thẳng $\Delta$ qua $M$ vuông góc với $d$ và song song với $(P)$ là

Kí hiệu $z^1$, $z^2$ là hai nghiệm phức của phương trình $z^2-5z+7=0$. Giá trị của $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{z^1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{z^2}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha ):$ $3x-y+2z+4=0$ và điểm $M(3;-1;-2)$. Phương trình mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $(\alpha )$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(-2;1;3)$ và mặt phẳng $(P):$ $2x-y+2z-10=0$. Biết rằng $(S)$ có tâm $I$ và cắt $(P)$ theo một đường tròn $(C)$ có chu vi bằng $10\pi$. Khi đó bán kính $r$ của mặt cầu $(S)$ bằng

Tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $2|z-1|=|z+\overline{z}+2|$ trên mặt phẳng tọa độ là một

Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=3x^2+2mx+m^2+1$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=\sqrt{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Một ô tô đang chạy với vận tốc $54$ km/h thì tăng tốc chuyển động nhanh dần đều với gia tốc $a(t)=3t-8$ (m/s${}^2$) trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây. Quãng đường mà ô tô đi được sau $10$s kể từ lúc tăng tốc là

Cho $x$, $y$ là các số thực lớn hơn $1$ thỏa mãn $x^2-6y^2=xy$. Giá trị $M=\genfrac{}{}{0ex}{}{1+{\log }^{12}x+{\log }^{12}y}{2{\log }^{12}(x+3y)}$ bằng

Cho số phức $z$ thỏa mãn $|z-1|le1$ và $z-\overline{z}$ có phần ảo không âm. Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức $z$ là một miền phẳng. Diện tích hình phẳng đó bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta :\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{1}=\genfrac{}{}{0ex}{}{y-1}{1}=\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{1}$ và hai điểm $A(1;2;-5)$, $B(-1;0;2)$. Biết điểm $M$ thuộc $\Delta$ sao cho biểu thức $T=\left|MA-MB\right|$ đạt giá trị lớn nhất là $T^{\max }$. Khi đó, $T^{\max }$ bằng

Giá trị thực của $m$ để bất phương trình ${\log }^5\left(x^2+1\right)\ge {\log }^5\left(m{x}^2+4x+m\right)-1$ nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$ là

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2) Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

3) Nếu  hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left(a;b\right)$ và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại $x^0$ thì $f^{\prime }\left(x^0\right)=0$.

Định lý 1:  Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên khoảng $K=\left(x^0-h;x^0+h\right)$ và có đạo hàm trên K hoặc trên $K\backslash \left\{x^0\right\}$, với $h>0$.a) Nếu $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực đại của hàm số $f\left(x\right)$.

b)  Nếu $f^{\prime }\left(x\right)<0$ trên khoảng $\left(x^0-h;x^0\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)>0$ trên khoảng $\left(x^0;x^0+h\right)$ thì $x^0$ là một điểm cực tiểu của hàm số $f\left(x\right)$.

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=-x^2+1$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=-2x$ ; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff x=0$.

Bảng biến thiên

Nhìn vào bảng biến thiên hãy cho biết khẳng định nào dưới đây đúng?

Qui tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2 Tính $f^{\prime }\left(x\right)$ . Tìm các điểm tại đó $f^{\prime }\left(x\right)$ bằng 0 hoặc không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cho hàm số $y=-x\left(x^2-3\right)$. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Định lý 2: Giả sử hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm cấp hai trong khoảng $\left(x^0-h;x^0+h\right)$, với $h>0$. Khi đó:

a) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)>0$ thì $x^0$ là điểm cực tiểu;

b) Nếu $f^{\prime }\left(x^0\right)=0,f^{\prime \prime }\left(x^0\right)<0$ thì $x^0$ là điểm cực đại.

Áp dụng Định lý 2 ta có qui tắc sau đây để tìm cực trị của hàm số.

Qui tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính $f^{\prime }\left(x\right)$. Giải phương trình $f^{\prime }\left(x\right)=0$ và kí hiệu $x^i$ ($i=1,2,...,n$) là tập các nghiệm của nó.

3. Tính $f^{\prime \prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$.

4. Dựa vào dấu của $f^{\prime \prime }\left(x^i\right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm $x^i$.

Tìm các điểm cực trị của hàm số $y=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^4}{4}-2x^2+6$.

Giải:

Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$.

$f^{\prime }\left(x\right)=x^3-4x=x\left(x^2-4\right)$; $f^{\prime }\left(x\right)=0\iff [\begin{array}{r}{x}^1=0\\ x^2=-2\\ x^3=2\end{array}$

$f^{\prime \prime }\left(x\right)=3x^2-4$.

Với $x^1=0$ ta có $f^{\prime \prime }\left(0\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^0=0$ là điểm cực tiểucực đại.

Với $x^2=-2$ ta có $f^{\prime \prime }\left(-2\right)$ <> 0 $\Rightarrow x^2=-2$ là điểm cực tiểucực đại.

Hàm số $y=-x^2+1$ có bảng biến thiên và đồ thị như hình dưới đây.

Hàm số có đạo hàm $y^{\prime }=0$ tại $x=$.

Trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$ hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng  tại $x=$.

Định nghĩa: Hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định và liên tục trên khoảng $\left(a;b\right)$ (có thể a là $-\infty$, b là $+\infty$ ) và điểm $x^0\in \left(a;b\right)$.

a) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)<f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại tại $x^0$.

b) Nếu tồn tại số $h>0$ sao cho $f\left(x\right)>f\left(x^0\right)$ với mọi $x\in \left(x^0-h;x^0+h\right)$ và $x\ne x^0$ thì ta nói hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực tiểu tại $x^0$.

Chú ý:

1) Nếu hàm số $f\left(x\right)$ đạt cực đại (cực tiểu) tại $x^0$ thì $x^0$ được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; $f\left(x^0\right)$ được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là $f^{CĐ}$ ($f^{CT}$), còn điểm $M\left(x^0;f\left(x^0\right)\right)$  được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.